Модели можно подразделить на физические и аналоговые. Например, планетарий – это физическая модель вселенной, лотки с водой могут быть физической моделью гидроэлектростанции. Маятник может являться аналоговой моделью для изучения колебаний основных характеристик электрической цепи переменного тока, поскольку оба процесса описываются одинаковыми уравнениями колебаний.
В рамках аналоговых моделей выделяют знаковые, которые включают в себя математические модели. В данном случае определение модели звучит так: модель – это система упрощенных предположений об объекте, допускающих математическую формализацию и применяемых, когда точные закономерности неизвестны или сложны. В свою очередь математические модели подразделяются на дискриптивные (описательные) и оптимизационные. Дискриптивные модели служат для описания и прогнозирования объекта (процесса, системы), например, урожая от условий выращивания. Цель оптимизационных моделей – найти оптимальное воздействие на объект (процесс). Например, определить оптимальный агрофон для конкретного сорта.
Можно построить несколько моделей одного объекта. Модель называется адекватной, если она соответствует данным, полученным в реальных экспериментах с объектом (процессом). Любая модель работает в рамках определенных предположений, невыполнение которых может привести к ошибочным выводам об объекте. Следует отметить, что разные модели обладают различной робастностью – устойчивостью к невыполнению предположений, то есть при не слишком больших отклонениях от предположений выводы и рекомендации, полученные на основе робастных моделей, оказываются верными. Робастными являются, например, модели дисперсионного и регрессионного анализа.
Рассмотрим пример построения дискриптивной модели конкретного объекта – популяции рыб, запущенных в озеро, для определения прогноза её численности.
Пусть х(t) – численность рыб в момент времени t;
х(0)=х0 - это численность рыб в начальный момент времени.
Естественно предположить, что в первые годы, когда питания и пространства для каждой особи достаточно, скорость роста численности пропорциональна самой численности х: dx/dt=kx, где k – коэффициент пропорциональности. То есть, чем больше численность рыб, тем больше в единицу времени они оставляют потомства (больше скорость роста популяции). Но постепенно с ростом х из-за перенаселения озера возникает ограничение скорости роста численности, которое упрощенно считаем пропорциональным частоте встречаемости рыб: а(х×х). Здесь а – коэффициент пропорциональности.
Можно составить модель:
dx/dt = kx – ах2
Решение этого уравнения:
Настройка модели – это подбор её параметров (например, а и k). Для этого проводят серию экспериментов с объектом (получают несколько значений х(t) для разных t). Методом наименьших квадратов строят экспериментальную кривую зависимости x(t), используя вышеприведенную формулу: то есть в процессе расчетов подбирают оценки коэффициентов а и k, обеспечивающие минимальные отклонения экспериментальных данных от прогноза по формуле. Эти коэффициенты иногда можно получить прямо, без эксперимента – из литературных данных.
Полученную описательную модель можно использовать, например, для прогноза численности рыб через определённый промежуток времени.
Если целью моделирования является не просто описание и прогнозирование процесса, а поиск оптимальных воздействий на этот процесс, то в модели из всех параметров, влияющих на изучаемый процесс, выделяют те, на которые человек может воздействовать. Это так называемые переменные управления (U). Далее в зависимости от поставленной задачи определяют какие значения и каких выходных параметров системы (процесса) необходимо получить. Желательно, чтобы все выходные параметры были объединены в одну так называемую целевую функцию W(U) таким образом, чтобы цель формулировалась просто. Например, добиться максимума W(U) за счет подбора оптимальных значений управляющих воздействий на U. Именно такие модели называются оптимизационными, хотя иногда их строят на основе описательных (дискриптивных) моделей.
U ®Система® W(U)
U – входные параметры управления (на них можно воздействовать).
W(U) – целевая функция.
Например, можно построить и изучать дискриптивную модель зависимости биомассы популяции рыб (М) от времени (t) с учетом U – отлова рыбы. Но если возникает конкретный вопрос, когда и в каких объемах следует проводить отлов рыбы, чтобы W(U) - суммарный выход отловленной биомассы за 5 лет был максимален, то желательно строить сразу оптимизационную модель.
Значение моделирования:
1. Гипотезы об объекте, выраженные математически, могут служить количественным описанием биологических, сельскохозяйственных и других объектов (процессов) и тем самым способствуют более углубленному их пониманию.
2. Математическая модель часто подсказывает способ представления результатов научных исследований в форме, удобной для использования в практике (графики, гистограммы).
3. Благодаря модели может быть количественно оценена экономическая эффективность внедрения нового объекта или процесса в производство.
4. Позволяет выбрать оптимальную стратегию воздействия на объект.
5. Дает возможность сократить объем дальнейших экспериментальных работ с объектом.
6. При исследовании сложных объектов модель позволяет объединить разрозненные знания об отдельных частях системы в единое целое.
7. С помощью модели можно выбрать наиболее рациональную стратегию и тактику реализации исследовательских программ (теория планирования эксперимента).
8. Математическая модель – это мощное средство обобщения разнородных данных об объекте, позволяющее осуществлять как интерполяцию (восстановление недостающей информации о прошлом), так и экстраполяцию (прогнозирование будущего поведения объекта).
В основе любой математической модели и метода ее анализа лежит математический аппарат. Это могут быть дифференциальные уравнения, формулы теории вероятностей, математической статистики и т.д. Правильный подбор математического аппарата – необходимое условие построения удачной модели.
Вопросы:
1. Что такое моделирование, общее определение модели, для чего их используют?
2. Приведите классификацию моделей и определения математической модели.
3. В чем разница понятий робастности и адекватности модели?
4. Что такое настройка модели и как она проводится?
5. Чем отличаются дискриптивные и оптимизационные модели?
