Многошаговые методы интегрирования

До сих пор мы имели дело с методами, зависящими только от и не использующими никаких предыдущих значений переменной. Такие методы называются одношаговыми и могут быть представлены в общем виде как

с соответствующей функцией . Представляется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках Именно так поступают в многошаговых методах.

Вернемся к задаче Коши

и рассмотрим лишь один большой и важный класс многошаговых методов, который возникает на основе следующего подхода. Если подставить в приведенное дифференциальное уравнение точное решение и проинтегрировать на отрезке , то получим

,

где в последнем выражении предполагается, что – полином, аппроксимирующий . Чтобы построить этот полином, предположим, как обычно, что – приближения к решению в точках и узлы расположены равномерно с шагом . Таким образом, – полином степени , удовлетворяющий условиям Этот полином можно явно проинтегрировать, что ведет к методу

.

Для полином есть константа, равная , и мы получаем обычный метод Эйлера. Если , то – линейная функция, проходящая через точки и , т.е.

Интегрируя ее от до , получаем следующее выражение:

, (3.10)

которое соответствует двухшаговому методу интегрирования, поскольку использует информацию в двух предыдущих точках. Аналогично, если , то является квадратичным полиномом, а соответствующий трехшаговый метод имеет вид

. (3.11)

Методы, соответствующие формулам (3.10) и (3.11) называются методами Адамса – Бишфорта.

Процесс можно продолжить, используя интерполяционный полином все более высокого порядка. При этом получаются все более громоздкие формулы, но принцип остается тот же.

Многошаговые методы порождают проблему, которая не возникала при использовании одношаговых методов. Нам задано начальное значение , но при для счета, например, по формуле (3.11), необходима информация о значении функции в точках , которая принципиально отсутствует. Обычный выход из положения состоит в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, пока не будет набрана необходимая информация.

Заметим также, что многошаговыми могут быть и неявные методы. В этом случае в формулы входят значения , которые могут быть определены только неявно, и найдены в результате решения системы алгебраических уравнений. Методы этой группы обычно называются методами Адамса – Моултона.

На практике часто используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методам известным как методы прогноза и коррекции [23].