Свойства методов численного интегрирования

Основными требованиями, предъявляемыми к численным методам, являются достаточная точность и устойчивость. Дополнительными – универсальность, алгоритмическая надежность, умеренные затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ [29]. При этом следует учитывать, что практически все эти характеристики имеют смысл только применительно к конкретному объекту исследования. Поэтому выбор подходящего метода интегрирования может иметь очень важное значение с точки зрения эффективности исследования.

Анализ процесса функционирования технического объекта численными методами всегда сопровождается ошибками в определении характеристик и параметров моделируемого процесса. Эти ошибки обусловлены многими причинами: неадекватностью модели, приближенностью исходных данных, свойствами используемого метода интегрирования. Первые из этих факторов возникают на этапе получения исходной модели. Последние – зависят от выбранного метода численного интегрирования.

Точность метода можно оценить, проанализировав полную ошибку на каждом шаге интегрирования, однако задача это достаточно сложная, так как предполагает наличие точного решения задачи.

Полная ошибка интегрирования на -м шаге включает следующие составляющие:

· ошибка дискретизации , обусловленная заменой производных конечными разностями;

· ошибка вычислений , связанная с округлением чисел при вычислениях;

· ошибка накопления , возникающая вследствие ошибок на предыдущих шагах интегрирования.

Ошибка накопления на -м шаге равна полной ошибке на предыдущем шаге. Ее оценка связана с исследованием устойчивости численного метода. Если метод устойчив, то существенно не возрастает и общую ошибку интегрирования можно связать в основном с .

Если даже при небольших погрешностях аппроксимации при каждом шаге интегрирования накопленная погрешность растет от шага к шагу, то метод неустойчив и результаты исследований не верны.

Основными источниками неустойчивости процесса интегрирования является несогласованность выбора метода интегрирования и метода управления шагом интегрирования с характером решаемой задачи,
с особенностями исследуемой системы дифференциальных уравнений. Один и тот же метод может быть достаточно эффективен при решении одной задачи, и неприемлем для другой.

Анализ устойчивости метода численного интегрирования для конкретного объекта строится на том, что после дискретизации и алгебраизации его модель превращается в систему разностных уравнений. Устойчивость такой системы можно проверить тем же методом, что и устойчивость обычных дискретных систем. Она зависит от расположения корней характеристического уравнения, полученного для системы разностных уравнений, которое, в свою очередь, определяется выбором формулы интегрирования, шагом интегрирования и собственными значениями матрицы Якоби исходной системы дифференциальных уравнений.

Теперь кратко обсудим влияние ошибок округления, возникающих при реализации методов численного интегрирования на ЭВМ, ограничившись следующим интуитивным рассуждением [23]. Ошибка дискретизации любого устойчивого метода стремится к нулю при . Следовательно, за счет уменьшения шага мы можем сделать ее сколь угодно малой. Однако, чем меньше шаг, тем больше потребуется шагов для решения конкретной задачи, тем больше скажутся на полученном решении ошибки округления. На практике, за счет ограниченной разрядности машинных слов, всегда существует величина шага , меньше которой вклад ошибок округления начинает доминировать в суммарной ошибке. Эта ситуация схематически изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Зависимость ошибки интегрирования
от величины шага интегрирования

При малых значениях шага интегрирования велико влияние ошибок округления. В средней части диапазона ошибка растет примерно пропорционально шагу интегрирования (что соответствует методу первого порядка). Превышение шагом значения приводит к неустойчивости процедуры. Значения и могут быть найдены исходя из заданной точности интегрирования.

Экстремальную величину шага очень трудно установить заранее, но в задачах, где не требуется слишком высокая точность, необходимый шаг обычно будет значительно больше, чем этот минимум, и основной вклад в полную ошибку будет вносить ошибка дискретизации.