Формула Ньютона-Лейбница.

Имеем:

, где Φ(х) – первообразная для функции ƒ(х).

Пусть F(x) - другая первообразная этой функции, тогда

Φ(х) = F(x) + C,

F(x) +C,

предположим, в этом равенстве x=a,

получим:

F(a) + C; но 0,

тогда F(a) + C = 0, т.е. С = –F(a);

подставим в исходное значение

F(x) – F(a), предположим х=b, тогда

F(b) – F(a), заменим t на х

F(b) – F(a) = F(x) | ;

Пример: arctg(x) | = arctg1 – arctg(-1) = 2arctg1 = 2π/4 = π/2.

Пример2:

Дано: ex , 0≤x≤1,

ƒ(х) = 3-x, 1<x≤3,

построим график функции: y

2.7

1 3 х

= e –1 + 2 = e+1.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], а значит существует

F(b) – F(a), где F(x) первообразная для функции ƒ(х) и пусть х = φ(t), где t [α,β].

Теорема: Если:

1) φ(α) = а, φ(β) = b.

2) функции φ(t) и φ'(t) непрерывны на отрезке [α,β]

3) функция ƒ(φ(t)) непрерывна на отрезке [α,β],

то .

Доказательство.

В параграфе о замене переменной в неопределенном интеграле было доказано, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции ƒ(φ(t))· φ'(t), поэтому

= F (φ(t)) = F(φ(β)) – F(φ(α)) = F(b) – F(a) = ,

что и требовалось доказать.

Пример: Вычислить интеграл:

= | x = sin(t), = cos(t), dx = cos(t)dt, при х=0, t=0; при х=1, t = π/2 | =

= = = = +0 – 0 = .

Пример2:

= π;

= | tg(x) = t, x = arctg(t) ; dx = ; sin2x = ; cos2x = ;

при х=0 , t = 0; при х = π, t = 0; | = = 0, - это не верно, так как в точке х = π/2, тангенс терпит разрыв.