Разложение многочлена на множители.

Определение: функция ƒ(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An называется целой рациональной функцией от x или многочленом n-ой степени, или полиномом n-ой степени. Уравнение ƒ(x) = 0 или A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An = 0 называется алгебраическим.

Теорма1.Остаток от деления многочлена ƒ(x) на (x-a) равен ƒ(a).

Обозначим через ƒ1(x) частное от деления ƒ(x) на (х-а), а R-остаток от деления, тогда

ƒ(x) = ƒ1(x) (х-а) + R (*)

при х=а деление невозможно, поэтому х≠а, последнем равенстве (*)перейдем к пределу при х→а.

limƒ(x) = lim ƒ1(x) (х-а) + lim R

x→а x→а x→а

ƒ(а) = 0+R,

R = ƒ(а);

Следствие: если а является корнем уравнения ƒ(х) = 0, то ƒ(а) = 0, т.е. R = ƒ(а)=0;

Основная теорема алгебры:

Всякая целая рациональная функция (многочлен) имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный (без доказательств).

Теорма2.Всякая целая рациональная функция может быть разложена в произведении n двучленов вида (х-а) и множества A0.

Доказательство.

По основной теореме алгебры ƒ(х) имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный. Обозначим через а1, тогда по следствию теоремы1, ƒ(x) = ƒ1(x) (х-а), где ƒ1(x) - это многочлен n-1-ой степени.

Аналогично по основной теореме алгебры многочлен ƒ1(x) имеет по крайней мере один корень а2 - действительный или комплексный.

По следствию теоремы можно записать:

ƒ1(x) = ƒ2(x) (х- а2), где ƒ2(x) - это многочлен n-2-ой степени.

Продолжая указанный процесс приходи к:

ƒn-1(x) = ƒn (х- аn), где ƒn - это постоянное число, причем ƒn = A0.

Собирая всё в обратном порядке, получаем:

ƒ(x) = A0(х- а1) (х- а2) (х- а3)…(х- аn);

Замечание: среди этих членов могут быть и равные, объединяя равные сомножители получаем разложение:

ƒ(x) = A0(х- а1)k1(х- а2) k2 …(х- аr) kr , где k1 + k2 + … + kr = n;

Теорема3: Если комплексное число a+bi является корнем многочлена

ƒ(x)=A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An , то сопряженное число a-biтакже является корнем многочлена.

Доказательство.

Так как a+bi – корень многочлена, то

ƒ(a+bi) = 0 или

A0 (a+bi)n + A1 (a+bi)n-1 + … + An-1 (a+bi) + An = 0 ,

раскроем скобки и, объединяя слагаемые, содержащие i и не содержащие i отдельно, получаем в левой части M+Ni=0, тогда M=0, N=0;

Найдем ƒ(a-bi) =A0 (a-bi)n + A1 (a-bi)n-1 + … + An-1 (a-bi) + An = | если раскрыть скобки и поступить как и в предыдущем случае, то получаем M+Ni = 0, т.к. M=0 и N=0 |

ƒ(a-bi)=0, т.е.

a-bi – корень многочлена ƒ(х).

Замечание: в разложении многочлена на множители

ƒ(x) = A0(х- а1)k1(х- а2) k2 …(х- аr) kr (*) , где k1 + k2 + … + kr = n; в этом разложении выделим два сомножителя с комплексно сопряженными корнями:

[x-( a+bi)] · [x-( a-bi)] = ((x-a)-bi) ·((x-a)+bi) = (x-a)2 – (bi) 2 = x2 – 2ax + a2 - b2 = |обозначим –2а=р, a2 + b2 = q| = x2 + рx + q;

квадратный трехчлен не имеет действительных корней, тогда в соотношении (*)сопряженные корни запишутся в виде:

ƒ(x) = A0(х- а1)k1(х- а2) k2 …(х- аe) ke (x2 + р1x + q1) t1(x2 + р2x + q2) t2 …(x2 + рsx + qs) ts, где k1 + k2 + …+ ke + 2 t1 + 2 t2 +…+ 2 ts = n;

Вывод: всякий многочлен может быть представлен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней.