Определение1: числа вида z = x + iy , где x,y – действительные числа, i = 
, называются комплексными.Очевидно, что i2 = -1;
Пример: z1 = 2 + 3i ; z2 = - 
+ 2i ;
Утверждение:
1. Комплексное число z = 0, если x = 0, y = 0.
2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , считаются равными, т.е. z1 = z2 , если x1= x2 и y1= y2.
x – действительная часть комплексного числа;
iy – мнимая часть комплексного числа;
i = - мнимая единица.
Рассмотрим плоскость XOY:
Y
z = x + iy
y – – – – ●
|
|
x X
Итак, каждой точке плоскости соответствует комплексное число и каждому комплексному числу соответствует некоторая точка плоскости, т.е. между множеством комплексных чисел и точек плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Y
y – – – – – – z
ρ
φ
x X
ρ – модуль комплексного числа z.
ρ = |z|
φ– аргумент комплексного числа и обозначается φ=arg z ; 0≤ φ ≤ 2π.
Arg z = arg z + 2πk, k c Z;
Из треугольника, найдем:
ρ = 
;
x = ρ·cos(φ); y = ρ·sin(φ); tg(φ) = 
, тогда
комплексное число z = x + iy запишется в виде:
z = ρ·cos(φ) + i·ρ·sin(φ);
z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа.
Пример: записать комплексное число z = 2 + 2 ·i в тригонометрической форме
x = 2; __ __________ _____
y = 2√3 , найдем ρ = √22 + (2√3)2 = √4+12 = 4.
tg(φ) = = 2 
= ; значит
tg(φ) = 
;
z = 4·(cos + i·sin );
