Интегрирование по частям.

Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

Проинтегрируем это равенство:

∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU –формула интегрирования по частям.

Пример:вычислить∫x · sin(x) dx

I способ.

∫x · sin(x) dx = | U=x; dU = dx; dV = sin(x) dx; ∫dV= ∫sin(x) dx;V = -cos(x)| =

= -x · cos(x) - ∫(- cos(x)) dx= -x · cos(x) + sin(x) + C;

II способ.

∫x · sin(x) dx = | U = sin(x); dU=cos(x) dx; dV=x dx; V=∫x dx = ; | = · sin(x) –

∫ · cos(x) dx.

Замечание:классы функций интегрируем по частям.

I класс – это интегралы вида:

∫Pn(x) · eax dx;

∫Pn(x) · sin(a·x) dx;

∫Pn(x) · cos(a·x)dx , где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае U = Pn(x);

II класс – это интегралы вида:

1.∫Pn(x) · ln(a·x) dx;

2.∫Pn(x) · arcsin(x) dx;

3.∫Pn(x) · arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);

Пример:

∫x2 · ln(1+x) dx ;

∫x2 · ln(1+x) dx = | U= ln(1+x); dU= ; dV = x2 dx; V= ; | = ln(1+x) · –

· ∫ dx = | выделим целую часть:

x3 |x+1

¯ x3+x2 x2-x+1

- x2

¯- x2–x_

x

¯ x+1

-1

значит, _ x3_ = x2 – x +1 + -1_ ; | =

x+1 x+1

= ·ln(1+x) – dx = ·ln(1+x) – · + – + · =

= ·ln(1+x) – · + – + ·ln(x+1) +C;

Пример2: интеграл вида:

∫ex · sin(x) dx = | U = ex; dU= exdx; dV= sin(x) dx; V=∫sin(x) dx = –cos(x); | = –ex · cos(x) + + ex · sin(x) – ∫ex · sin(x) dx;

∫ex · sin(x) dx = –ex · cos(x) + + ex · sin(x) – ∫ex · sin(x) dx;

получили уравнение относительно интеграла, неизвестным является интеграл.

2 ∫ex · sin(x) dx = ex · (sin(x) – cos(x) );

∫ex · sin(x) dx = · ex · (sin(x) – cos(x) ) + C;