Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

Сущность закона Фурье заключается в утверждении, что количество теплоты, проходящей через выделенную на изотермической поверхности элементарную площадку dF, определяется величиной температурного градиента в рассматриваемом месте:

,

где - вектор теплового тока, которым определяется количество протекшей теплоты, отнесенное к единице площади изотермической поверхности и единице времени; - коэффициент теплопроводности, - градиент температуры.

В дифференциальной форме уравнение теплопроводности выглядит следующим образом:

,

здесь - коэффициент температуропроводности вещества (представляет собой отношение коэффициента теплопроводности к объемной теплоемкости ).

Дифференциальное уравнение теплопроводности, определяющее температурное поле твердого тела, выражает связь между изменением температуры во времени и ее распределением в пространстве. Левая часть уравнения характеризует скорость изменения температуры некоторой точки тела со временем, правая – пространственное распределение температуры вблизи этой точки.

Дифференциальное уравнение Фурье описывает весь класс явлений теплопроводности. Однако в нем не отражены частные особенности конкретных явлений. Для решения конкретной задачи необходимо задать дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением однозначно определяют единичное явление. Такие условия называются условиями однозначности:

1. Геометрические свойства (размеры, форма, конфигурация).

2. Физические свойства (коэффициенты , , и т.д.).

3. Временные (начальные) условия (задаются в форме распределения температуры в теле для некоторого момента времени, принимаемого за начальный).

4. Граничные условия (условия взаимодействия со средой, т.е. условия на границах тела; могут быть заданы в различной форме в зависимости от объема предварительных сведений о процессе).

а) Граничное условие первого рода – задается температура поверхности тела.

б) Граничное условие второго рода – задается тепловой поток на поверхности тела.

в) Граничное условие третьего рода – задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и средой. Выражает требование, чтобы количество теплоты, подходящей изнутри тела к его поверхности с помощью теплопроводности, равнялось количеству теплоты, которая теряется с его поверхности тела в окружающую среду.

г) Граничное условие четвертого рода - идеальный контакт между телами. В этих условиях оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру и количество теплоты, проходящей через эту поверхность, одинаково для обоих тел.