Метод множителей Лагранжа

1. Составить функцию Лагранжа

,

где первоначально неизвестные множители Лагранжа.

Эта функция исследуется на безусловный экстремум. (Т.о. задача минимизации с ограничениями сводиться к минимизации без ограничений, так как для допустимых значений , удовлетворяющих ограничениям,

.

Необходимые условия минимума можно записать следующим образом

(Заметим, что )

Приведенные необходимые условия минимума являются системой уравнений. Для каждого решения этой системы в точке нужно исследовать знак дифференциала второго порядка функции Лагранжа в этой точке

,

здесь ,так как – это число.

Если ,то точка ( ) – точка условного максимума (минимума) Найденный знак дифференциала дополняет рассмотренные необходимые условия до достаточных.

Пример

Найти условный экстремум функции

при , т.е.

Составляем функцию Лагранжа

Находим для частные производные первого порядка

Система уравнений:

Из 1-го уравнения: если , то .

Подставим в 3-е уравнение:

, т.е. 3-е уравнение не выполняется

Из 1-го уравнения ;

Подставим это во 2-е уравнение:

Отсюда

Подставим это в 3-е уравнение

, откуда , но поскольку ,то

Получаем четыре точки

Если система уравнений имеет несколько решений, поступают следующим образом:

Найдем значения исходной функции в полученных точках и среди этих значений выберем наибольшее и наименьшее:

в точках

в точках

Можно решать так:

Из 1-го уравнения:

Подставим во 2-е уравнение:

Если , то и , но и , иначе не выполняется 3-е уравнение тогда

Откуда или

Подставим в 3-ое уравнение: