В задачах №№ 1–10 а). Вычислить двойные интегралы по заданной области D. б). Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. в). Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданной линией.
№ 1: а). ∫∫ ( x 2 y 2+ 3 x 3 y 3 )dxdy ,
D
D: x = 1,
y = x 2 ,
y = − x ;
∫∫xdxdy ,
D
A(1,1),
1 3− x
где D – треугольник с вершинами
B(0,1).
O(0,0),
б). ∫dx
∫ f ( x , y)dy .
2 x 2
в).
x 2+ y 2= 2 x .
№ 2: а). ∫∫ ( x 2 y 2+48 xy 3 )dxdy ,
D: x = 1, y =
x , y = − x 2 ;
∫∫xdxdy ,
D
A(10,1),
где D – треугольник с вершинами
B(1,1).
O(0,0),
б).
3 / 2
∫dy
y + 3
∫ f ( x , y)dx .
2 y 2
в). ( x 2+ y 2 )2= 2 y 3 .
№ 3: а). ∫∫ 36 xy + 4 y 3 )dxdy ,
D
D: x = 1,
y = 3 x ,
y = − x 3 ;
∫∫ xdxdy , где D ограничена прямой, проходящей через
D
точки
A(2,1),
B(0,2), и дугой окружности с центром
в точке четверти,
O(0,1),
y ≥ 0.
радиуса 1, принадлежащей первой
б).
∫dx
−1
x + 3
∫ f ( x , y)dy .
2 x 2
в). ( x 2+ y 2 )2= 16.
№ 4: а). ∫∫ (18 x 2 y 2+ 4x 3 y 3 )dxdy , D:
D
x = 1,
y = x3 ,
y = − x ;
∫∫ xdxdy , где D – y 2= x ,
D
2 3− y
x = 0,
y = 1.
б). ∫dy
∫ f ( x , y)dx .
2 y 2
в). 9 x 2+ 9 y 2= 4 x .
№ 5: а). ∫∫ (27 x 2 y + 48 xy 3 )dxdy , D:
D
x = 1,
y = x 2 ,
y = −3 x ;
∫∫ xdxdy , где D:
D
y = x 2 ,
y = − x .
б).
∫
− 3 / 2
3− x
dx ∫ f ( x , y)dy .
2 x 2
в). (6 y 2+ 6 x 2 )2= 9 y 3 .
№ 6: а). ∫∫ ( xy +
9 x 2 y 2 )dxdy , D:
11
x = 1,
y = x 3 ,
y = − x ;
∫∫ xdxdy , где D:
D
4 25− x 2
y = x ,
x + y = 2.
б). ∫dx
∫ f ( x , y)dy.
3 x
в).
x 2+ y 2= 4 y .
№ 7: а). ∫∫ (4 xy + 4xy 3 )dxdy , D:
D
x = 1,
y = 3 x ,
y = − x 5 ;
∫∫ xdxdy , где D –трапеция с вершинами
D
A(1,1),
B(2,2),
5 y
C(4,2),
Д (5,1).
б).
∫dy
−4−
∫ f ( x , y)dy.
9− y 2
в). ( x 2+ y 2 )2= 4 x 3 .
№ 8: а). ∫∫ (4 xy + 3 x 2 y 2 )dxdy , D:
D
x = 1,
y = x 2 ,
y = − x ;
∫∫ xdxdy , где D:
D
1 x 2+1
y = x 2 , y = x .
б). ∫dx
∫ f ( x , y)dy.
−1
в). ( x 2+ y 2 )2= 81.
№ 9: а). ∫∫ (12 xy + 9 x 2 y 2 )dxdy , D:
D
x = 1, y =
x , y = − x 2 ;
∫∫ xdxdy , где D:
D
4 25− y 2
x 2= 4 y ,
y = 1,
x = 0
( x ≥ 0) .
б). ∫dx
∫ f ( x , y)dy.
3 y
в). 5 x 2+ 5 y 2= 9 y .
№ 10: а). ∫∫ (12 xy + 27 x 2 y 2 )dxdy , D:
D
x = 1,
y = x 2 ,
y = −3 x ;
∫∫ xdxdy , где D:треугольник с вершинами
D
O(0,0),
A(−1,1),
B(1,1).
б). ∫dx
9− y 2
∫ f ( x , y)dy.
5 y
в). (2 y 2+ 2 x 2 )2= 16 x 3 .
В задачах №№ 11–20: вычислить объем пространственного тела, ограниченного указанными поверхностями.
№ 11:
z = 0,
z = x ,
y = 0,
x = 25− y 2 .
№ 12:
z = 0,
z = 9− y 2 ,
x 2+ y 2= 9.
№ 13:
z = 0,
z = 4− x − y ,
x 2+ y 2= 4.
№ 14:
z = 0,
z = y 2 ,
x 2+ y 2= 9.
№ 15:
z = 0,
y + z = 2 ,
x 2+ y 2= 4.
№ 16:
z = 0,
4z =
y 2 ,
2 x − y = 0,
x + y = 9.
№ 17:
z = 0,
z = x 2+ y 2 ,
x 2+ y 2= 4.
№ 18:
z = 0,
z = 1− y 2 ,
x = y 2 ,
x = 2 y 2+ 1.
№ 19:
z = 0,
z = 1− x 2 ,
y = 0,
y = 3− x .
№ 20:
z = 0,
z = 4 y ,
x = 0,
x + y = 4.
В задачах №№ 21–30: вычислить криволинейные интегралы вдоль заданных линий.
В задачах №№ 1–10 а). Вычислить двойные интегралы по заданной области D. б). Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. в). Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданной линией.
в).
y = 3 x ,
y = − x ;
D
№ 6: а). ∫∫ ( xy +
11
y = − x ;
4 25− x 2
∫∫ xdxdy , где D –трапеция с вершинами
5 y
∫ f ( x , y)dy.
D
y = − x ;
x , y = − x 2 ;
4 25− y 2
∫ f ( x , y)dy.
№ 12:
№ 19:
вдоль ломаной L=OAB, где
∫ ydx + dy
№ 28: ∫y
∫ dx +xdy
x 2+ y 2= 1и плоскостью x0y.
2
x + z = 6,
dz= ∂z