ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

В задачах №№ 1–10 вычислить определенные интегралы:

а) методом подведения под знак дифференциала; б) замены пе- ременной; в) интегрированием по частям;

ð / 2

№ 1: а). ∫ xcos( x)dx ;

e ln( x)

∫

dx ; ∫

dx ;

4 x + 1

2 ð

3 3

∫sin(

x)dx ;

ð / 6

∫ e sin(

x )cos( x)dx ;

6 xdx

∫ ;

ð / 3 arctg( x )

∫

Dx .

0 4

2 xdx

1 dx

3 x 2− 5 0

1 2 x − 3 2

1+ x 2

б). ∫

;

2 x + 5

∫

1 x +

; ∫

x 1 ( x + 2 )3

dx ; ∫x

x − 1dx .

1 1 1

2 2 2 x

в). ∫ arcsin( x)dx ;

e

∫ arctg( x)dx ;

ð

2

∫ xe 3 dx ;

∫ x 2 ln( x)dx ;

∫ xsin(2 x)dx .

e ln( x) 6

ð

5dx 3

№ 2: а). ∫ xsin( x 2 )dx ;

∫

1 4 x

dx ; ∫

;

3 x − 2

∫ cos(9 x)dx ;

ð / 4 8

∫ e cos( x )sin( x)dx ; ∫

Xdx

ð / 3 arctg(2 x)

; ∫

Dx .

2 3 xdx

2 dx

6 2 x 2+ 2 0

5 3

1+ 4 x 2

4

б). ∫

2

; x − 0.5

∫

1 x −

2

; ∫

x 3 ( x + 2 )3

2

dx ; ∫x

x + 3dx .

в). ∫ arccos( x)dx ;

e

∫ arctg(3 x)dx ;

ð

2

∫ xe 2 x dx ;

∫ xln(2 x)dx ;

ð

3

∫ xsin( x)dx .

e ln(3 x)

ð

5 5dx 3

№ 3: а). ∫ xsin(3 x 2 )dx ; ∫

0 1

dx ; ∫

x 2

;

7 x + 5

∫ sin(7 x)dx ;

ð / 3 8

∫ e cos( 2 x )sin(2 x)dx ; ∫

Xdx

ð / 3 arcctg( x)

; ∫

Dx .

0 6 x 2−1

0 1+ x 2

б). ∫

2

;

2 x − 9

∫

1 2 x −

2

; ∫

2 x 4 ( x − 3 )3

2

dx ; ∫x

x − 5dx .

в). ∫ arccos(2 x)dx ;

∫ arcctg(3 x)dx ;

∫ xe − x dx ;

e

∫xln(

ð

4

x )dx ;

x 2

ð

2

∫ xcos(2 x)dx .

x

e ln( 3 )

5 dx

8 xdx

№ 4: а). ∫xsin(

)dx ; ∫

5 1

Dx ; x

∫ ;

2 3 7 x − 3

∫ ;

6 2 x 2+ 3

ð

3

∫ sin( x −

3 )dx ;

ð / 3

∫

cos( x )

e 3

Sin(

x )dx ;

ð / 3 arcctg( x)

∫

Dx .

0 2 0 3

7 2 xdx 2 dx 5 3

0 1+ x 2

7

б). ∫

2

;

2 x + 7

x

∫ ;

1 2 x 2− 5

2

∫

3 ( 3 x + 5 )3

2

dx ;

∫x3

x + 2dx .

в). ∫arccos(

0 4

)dx ;

∫ arctg(3 x)dx ;

ð

∫ xe − 3 x dx .

e

∫ x 2 ln(

ð

x )dx ;

3

∫ xcos( x −

ð )dx .

4

1

№ 5: а). ∫ xcos( x 2+

ð)dx ;

E e x

∫

dx ; ∫

Xdx

1 / 3

; ∫

1 dx .

0 4 1 x 2

ð

6 2 x 2+ 3

0 9+ 7 x 2

∫ cos2 (2 x)dx ;

ð / 3

∫

sin 2 ( x )cos( x )dx ; 8 dx .

∫

0

б). ∫

x 2 dx 2 dx

; ∫

3 3

;

5 1

∫ dx ;

6 xln 2

∫

( x)

Dx .

3 x + 7

2 x

1 2 x −5

3 ( 3 x + 5 )2

2

5 x 2− 4 x + 3

− x

в). ∫arctg(

0 4

)dx ;

∫ ( x + 1)ln( x)dx ;

∫ xe 2 dx ;

E x

∫xln(

1 2

+ 1)dx ; ∫

Xdx .

5+ 4 x

ð

4

№ 6: а). ∫ xsin( x 2−

ð)dx ;

2

E e x

∫

dx ;

8 xdx 8 dx

∫ ; ∫ ;

0 3 1 x 2

ð

6 x 2+ 3

6 xln 3 ( x)

3ð ð ð / 3 x x

cos2 ( x − )sin( x − )dx ; 2

∫

1 / 3

∫

3 3

1 dx .

∫sin(

)cos

( )dx ;

0 9− 7 x 2

7 xdx

2 xdx 5 1 7 1

б). ∫

2

;

x − 3

x

∫ ;

1 x − 5

∫

3 ( 2 x + 1 )3

dx ;

2

∫

5 x 2− 2 x +3

Dx .

в). ∫xsin(

)dx ;

4

∫ ( x + 1)2 ln( x)dx ;

∫ x 2 e x dx ;

e 3

∫ xln( x + 1)dx ; ∫

Xdx .

1 2 1− x

ð

4ð 8 dx

8 xdx

№ 7: а). ∫ x 2 tg( x 3−

ð

)dx ;

3

∫ ;

6 ( x + 1)ln 2 ( x + 1)

∫ ;

6 2 x 2+ 7

1

∫ cos2 (2 x)sin(2 x)dx ;

ð / 3

∫ sin( x + 1)cos2 ( x + 1)dx ;

E e x

∫

Dx .

7 xdx

2 xdx 5 x

1 x 3

7 1

б). ∫

ð

3

;

x + 3

∫ ;

1 2 x + 5

∫

3 (2 x 2+ 1)3

dx ;

2

∫

5 x 2+ 2 x + 5

Dx .

в). ∫ x 2sin( x)dx ;

∫ ( x + 1)2 ln(x + 1)dx ;

∫ (2 x)2 e 2 x dx ;

e 4

∫ xln(2 x + 1)dx ; ∫

1 3

Xdx .

1− 3 x

ð

№ 8: а). ∫ xctg( x 2+

2ð )dx ;

− 1

E e x

∫

8 dx

dx ; ∫ ;

0 3 1 (2 x)2

ð

6 x 2(lnx)2+ 7

8 dx

∫ 4

; ∫ cos2 (2 x)dx ;

ð/3

∫ cos2 ( x + 1)dx .

6 xln

б). ∫

( x) 0

dx

;

2 xdx

∫

; ∫xe

x 2

5

dx ; ∫

x dx ;

4 x 2+ 2 x + 3

1 4 x − 1 1

3 ( x 2+ 1)3

∫ xln(2 x)dx .

ð

3

в). ∫ xsin(2 x)dx ;

e

∫ xln(2 x + 1)dx ;

∫ ( x + 1)2 ln( x + 1)dx ;

∫ xe 2 x − 3 dx.

2

∫ (2 x)2 e 2 x dx ;

5 2

№ 9: а). ∫ x7 x

dx ;

x

e arctg( 2 )

∫

dx ;

8 dx

∫ sin(lnx) ;

ð

4 xdx

∫ ;

2 1 (4+ x 2 ) 6

ð

x 0 cos2 ( x)

3 sin(2 x ) dx ;

ð / 3

cos(lnx )dx .

∫

Cos2

(2 x)

dx

∫

ð / 5 x

1 / 2 dx

5 x 2 dx

б). ∫

x 2

2 5

;

3− x 2

∫ ;

0 1− x 2 arccos( x)

∫ ;

3 ( x 3+ 1)3

∫ xe

dx ;

∫ x 2 ln( x

)dx .

1 5 2

ð ð1

3 3 2

в). ∫ xarctg( x)dx ;

∫ xsin( x)dx ;

∫ (2 x)2 e 2 x dx ;

e

∫ ( x + 1)ln(2 x)dx ;

∫ xcos(2 x)dx.

x

5 x e arctg( 2 ) 8

ð

dx 4

sinxdx

№ 10: а). ∫ x3 2 dx ;

∫ 4+ x 2

dx ;

∫ ln(lnx) ;

6 x

∫ ;

0 cos2 ( x)

3 4 x 2

ð / 3

tg( x ) dx

∫ 1+

3

Dx ; x

∫2

ð / 5

;

cos2 x

3

б). ∫

Xdx

0.5 dx

; ∫

2 e x dx

; ∫ ;

1 2− x 2 0

2 7

1− x 2 arcsin( x)

1 e 2 x + 1

x

∫ ctg( )dx ;

∫xln( x

)dx .

1 3 5 3

ð ð1

3 3 2

в). ∫ xarcctg(2 x)dx ;

∫ sin(ln( x))dx ;

∫ (2 x)2 e 2 x +1dx ;

e

∫ ( x 2+ x)ln(

x )dx ;

2

∫ xcos2 ( x)dx.

В задачах №№ 11–20: вычислить несобственные интегра- лы или доказать их расходимость.

∞ 2

№ 11: a). ∫ xe x

∞

dx ; б) ∫

1− x 2

Dx .

№ 12: a). ∫

1 x 2+ 2 x + 2

dx ; б) ∫

1 ( x −1)2

Dx .

−3

№ 13: a). ∫

1 dx ;

1 x 2

б) ∫

Dx .

−∞ x 2+1

0 1− x 3

∞ 1

№ 14: a). ∫

dx ; б) ∫

1 dx .

2 xlnx

0 ( x − 2)2

∞ 1

№ 15: a). ∫

dx ; б) ∫

1 dx .

1 x 2+ 4 x + 5

0 ( x − 3)3

∞ 1

№ 16: a). ∫

dx ;

б) ∫

1 dx .

1 3 1+ x

0 xln( x)

∞ 5

№ 17: a). ∫

dx ; б) ∫

1 dx .

1 2 x + 3

∫

№ 18: a). ∞ sin( x)

0 3

dx ; б) ∫

x − 1

Dx .

ð x 0 2− 3 x

∞ − x 1 x

№ 19: a). ∫xe

2 dx ; б) ∫

0 ( x 2−1)2

Dx .

∞ x

№ 20: a). ∫2

dx ; б) ∫

1 dx .

1 e x − 1

2 5 ( x − 3)3

Задачи №№ 21–30: вычислить площадь фигуры, ограничен- ной линиями.

№ 21:

№ 22:

y = x 2 ,

y = x ,

y = − x 2+ 2.

y = − x + 2,

y = 0.

№ 23:

y = x 2+ 1,

y = x + 1.

№ 24: y = x 3 ,

y = x .

№ 25: y = x ,

№ 26: y = x ,

y = x 2 .

y = 3.

№ 27: y = x 2+ 1,

№ 28: y = ( x + 1)2 ,

y = − x + 3. y = − x + 1,

y = 0.

№ 29: y = x 2 ,

y = −2 x + 3.

№ 30: y = 2 x − x 2 ,

y = − x .

В задачах №№ 31–40: вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линией.

№ 31: y = x ,

y = 0,

x = 1.

№ 32: y = sin( x),

№ 33: y = cos( x),

y = 0,

y = 0,

x = 0,

x = 0,

x = ð .

2

x = ð .

№ 34: y = x 2 ,

№ 35: y = x 3 ,

№ 36: y = 4 x ,

№ 37: y = 1− x 2 ,

y = 0,

y = 0,

x = 4.

y = 0,

x = 2.

x = 1.

x = 0,

x = 1.

№ 38: y = 2+ x 2 ,

x = 0,

x = 1.

№ 39: y = 3 x ,

x = 0,

x = 1.

№ 40: y = ( x − 1)2 ,

y = 1.