КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вариант 1

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объём тела, заключённого между конусом

и гиперболоидом .

4. Найти площадь поверхности z = x y , вырезаемую цилиндром

5. Используя сферические координаты, вычислить

6. С помощью тройного интеграла найти объём, заключённый

между поверхностями

7. В интеграле перейти к новым переменным

Вариант 2

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объём тела, ограниченного поверхностями

4. Найти площадь части поверхности , вырезаемой

цилиндром и плоскостью .

5. Используя цилиндрические координаты, вычислить интеграл

, где тело ограничено поверхностями

.

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем, ограни-

ченный поверхностями

7. В интеграле , где область Ω ограничена ли-

ниями , перейти к новым перемен-

ным

Вариант 3

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Перейдя к полярным координатам, вычислить объём, ограни-

ченный поверхностями

4. Найти площадь части поверхности , вырезанной

плоскостями

5. Используя сферические координаты, вычислить интеграл

6. С помощью тройного интеграла вычислить объём, ограничен-

ный поверхностями

7. В интеграле где область

перейти к новым переменным

.

Вариант 4

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

4. Найти площадь части сферы внутри цилин-

дра

5. Перейдя к цилиндрическим координаты, вычислить интеграл

где область V ограничена поверхно-

стями

6. С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограни-

ченного поверхностями

7. В интеграле где область Ω ограничена кри-

вой перейти к новым переменным

Вариант 5

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

и (использовать полярные коорди-

наты).

4. Найти площадь части поверхности , отсекаемую по-

верхностями

5. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл

где - область, ограниченная

поверхностями

6. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограни-

ченного поверхностями

(перейдя к координатам

7. В интеграле где область

перейти к новым переменным

Вариант 6

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Перейти к полярным координатам, вычислить объём, ограни-

ченный поверхностями

4. Найти площадь части конуса , внутри цилиндра

5. Перейти к сферическим координатам, вычислить интеграл

где

6. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограни-

ченного поверхностями

7. В интеграле где

перейти к новым переменным

Вариант 7

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти массу пластинки с плот-

ностью

4. Найти площадь части поверхности , отсеченной плос-

костями

5. Используя сферические координаты, вычислить интеграл

где область V, ограниченная по-

верхностями

6. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограни-

ченного поверхностями

(использовать цилиндрические координаты).

7. В интеграле где область

перейти к новым переменным

Вариант 8

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти массу пластинки с

плотностью

4. Найти площадь части поверхности вырезаемой ци-

линдром и плоскостью

5. Используя цилиндрические координаты, вычислить интеграл

где область

6. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограни-

ченного поверхностями

7. В интеграле где область

перейти к новым переменным

Вариант 9

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти массу пластинки

с плотностью (использовать полярные координаты).

4. Найти площадь части цилиндра вырезаемой плос-

костями

5. Используя цилиндрические координаты, вычислить интеграл

где

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

7. В интеграле где

перейти к новым пере-

менным

Вариант 10

1. Вычислить интегралы:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, огра-

ниченного поверхностями

4. Найти площадь части поверхности , вырезанную ци-

линдром и плоскостью .

5. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл

где V – область, ограниченная поверх-

ностями

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограни-

ченного поверхностями

7. В интеграле где область

перейти к новым переменным

Вариант 11

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти массу пластинки с

плотностью

4. Найти площадь части поверхности , вырезаемой

цилиндром

5. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл

где

.

6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

7. В интеграле где

перейти к новым переменным

Вариант 12

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти массу пластинки

с плотностью (использовать полярные координаты).

4. Найти площадь части поверхности , находящейся

внутри цилиндра .

5. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл

где область V ограничена поверхностями

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограни-

ченного поверхностями

7. В интеграле где

перейти к новым переменным