Задания для занятия

ТЕМА 16. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

План:

1. Интегрирование рациональных дробей.
2. Интегрирование тригонометрических выражений.
3. Интегрирование иррациональных выражений.

Литература

1. Баврин, И.И.Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
2. Баврин, И.И. Математический анализ: учебник./ И.И. Баврин, М.: Высш. шк., 2006 – 327 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. – 304 с.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

К этому типу интегралов относятся интегралы вида:

;

;

Метод решения всех этих интегралов заключается в выделении полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной.

Пример 1.

Интегралы видов решаются аналогично, только сводятся к другим табличным интегралам.

Интегрирование рациональных дробей

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами.

В этом случае правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся.

Каждому линейному сомножителю в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:

В частности при имеем только одно слагаемое

Каждому квадратичному сомножителю соответствуют дроби вида:

При имеем одно слагаемое

Рассмотрим конкретные примеры вычисления интегралов от рациональных дробей.

Пример 2.

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

, которым воспользуемся для нахождения коэффициентов и .

Подставим корни линейных сомножителей в знаменателе.

Таким образом, получим:

Пример 3.

Так же, как в предыдущем примере, будем иметь:

Подставив корни знаменателя, ; , найдем коэффициенты и .

Для нахождения приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Пример 4.

Подставим :

1-2=

Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

Задания для занятия

Вычислите неопределенные интегралы

1.1.	1.21.
1.2.	1.22.
1.3.	1.23.
1.4.	1.24.
1.5.	1.25.
1.6.	1.26.
1.7.	1.27.
1.8.	1.28.
1.9.	1.29.
1.10.	1.30.
1.11.	1.31.
1.12.	1.32.
1.13.	1.33.
1.14.	1.34.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.