Дискретная одномерная случайная величина.
Этот материал будет использован при составлении контрольной работы и итогового теста.
Часть 1.
Общий случай.
Задача 1
Придумайте текст задачи для некоторой дискретной случайной величины.
Найти:
Ряд распределения.
Функцию распределения.
3) M[kX+b].
4) D[𝛂X+𝛃]
5) p{X<a}; p{X>b}; P{XÎ[𝛂;𝛃}
6) P{|X-M[X}|<k𝛔}; k=1;2;3.
Пример (от автора).
Два футболиста бьют по воротам, но не более двух раз каждый. По жребию начинает первый. Если один попадает, то игра заканчивается.
Пусть А1={попал первый}; Р(А1)=0,8
А2={попал второй}; Р(А2) =0,6
(события А1 и А2 –независимые).
Х–число бросков, ХÎ{1, 2, 3, 4}
Составить ряд распределения.
Найти функцию распределения F(x)’.
3)M[-2X+3];
4)D[5-0,5X]
5)Найти вероятность :Р{X<3}; P{X>2}; P{XÎ[1;2,5]}.
6)P{|X-M[X}|<k𝛔}; k=1;2;3.
Решение
1)Составление ряда распределения
р1=Р{X=1} =P(A1)=0,8
p2=P{X=2}=P( A2)=P( )*P(A2)=0,2*0.6 = 0,12.
р3=P{X=3}=P( * *A1)=Р( )*Р( )*Р(А1)=0,2*0.4*0.8=0.064
p3=P{X=4}=P( * * )=р( )*р( )*р( )=0.2*0.2*0.4=0.016.
Контроль:р1+р2+р3+р4= 1
2)F(x)=
3)M[-2X+3]=-2M[X]+3
Среднее число бросков
М[X]= =1*0.8+2*0.12+3*0.064+4*0,016=1.296®M[-2X+3]=-2*1,296+3=0,408
4)D[5-0,5X]=0,25D[X]; D[X]=M[X2]-(M[X])2
M[X2]= =1*0,8+4*0,12+9*0.064+16*0,016=2,112®
D[X]=2,112-(1,296)2=0,432384®)D[5-0,5X]=0,25*0,432384=0,108096
𝛔[X]= ≈0,66
5)Найти вероятность :Р{X<3}=F(3)=0,92; P{X>2}=P{X=3}+P{X=4}=0,08; P{XÎ[1;2,5]}=P[X=1]+P{X=2}=0,92.
6)P{|X-M[X}|<k𝛔}; k=1;2;3.(M[X]≈1,3; 𝛔[X]≈0,66)
k=1®P{|X-1,3|<0,66}=P{0,64<X<1,96}=P{X=1}=0,8
k=2®P{|X-1,3|<1,32}=P{-0,02<X<2,62}=P{X=1}+P{X=2}=0,92
k=3® P{|X-1,3|<1,98}= P{-0,68<X<3,28}= P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.984
Примечание.