Магистральная теория.

Пусть для всех выполняются неравенства , вектор задает начальный запас товаров, – вектор цен на товары. Требуется найти траекторию интенсивностей , такую что , или , где .

Задача

.

является стандартной задачей ЛП. Однако размерность этой задачи обычно достаточно большая, поэтому решать её сложно с вычислительной точки зрения. Поэтому желательно уметь находить качественные характеристики оптимальной траектории.

Пусть – некоторая из норм в . Обозначим

, для всех , .

Указанная функция обладает следующими свойствами:

1. .

2. равносильно : – векторы коллинеарны.

3. Если , , то .

Замечание 2.2. Если для всех выполняется , то для всех и имеет место , т.е. все состояния стационарной траектории рассматриваются (относительно введенной метрики) как одна точка (именно поэтому название траектории присутствует слово “стационарная”). С точки зрения метрики последовательности векторов и неразличимы.

Определение 2.4. Говорят, что луч является магистралью для задачи , если для каждого найдутся , , такие что для всякой оптимальной траектории выполняется условие для всех , удовлетворяющих условию , причем и не зависят от .

Другими словами, вектор называется магистралью, если любая из оптимальных траекторий идет в направлении этого вектора, исключая, возможно, начальный и конечный периоды (периоды выхода на магистраль и ухода с нее).

Утверждение, устанавливающее наличие магистрали для оптимизационной задачи вида называется теоремой о магистрали.

Определение 2.5. Конической -окрестностью вектора называется множество .

Таким образом, вектор является магистралью для задачи , если для каждого найдутся , , такие что при всякая оптимальная траектория проходит через окрестность .

Если плановый горизонт достаточно велик (при фиксированном ), то почти всё время оптимальная траектория идет вдоль луча , сохраняя почти постоянными пропорции в интенсивности использования различных производственных процессов.

Типичным при этом оказывается такое положение дел, когда луч продолжает оставаться магистралью при широких вариациях вектора С, задающем целевую функцию.

Магистральная теория может быть эффективно использована в тех случаях, когда нет возможности непосредственно вычислить оптимальную траекторию вследствие большой размерности задачи, а также, если нет уверенности в точности выбора целевого функционала. При принятии плановых решений при каждом шаге можно ориентироваться на луч , стараясь заставить все отрасли работать с интенсивностями, пропорции которых близки к пропорциям вектора .

К настоящему моменту существует обширная литература, посвященная изучению магистрального эффекта для различных моделей экономической динамики.