Существование равновесия в модели Неймана.

Невырожденное положение равновесия задаёт одновременно стационарные траектории и интенсивностей, и цен. Поэтому такая ситуация является самой простой для изучения.

Для всех рассмотрим задачу линейного программирования:

Обозначим через решение задачи . Задача

является двойственной для задачи , поэтому для ее решения справедливо равенство .

Теорема 2.1. Тройка задает положение динамического равновесия (возможно – вырожденного) в модели Неймана тогда и только тогда, когда при выполняется условие и пары , являются решениями соответственно задач и .

Доказательство. Пусть – положение равновесия в модели Неймана. Тогда неравенства и показывают, что пары , являются при допустимыми планами, соответственно, для задач и . Поскольку значения целевых функций совпадают (и равны ), согласно теории двойственности эти пары являются решениями данных задач.

Доказательство второй части теоремы также не представляет труда.

Теорема 2.1 дает способ конструктивного отыскания положений динамического равновесия. Рассмотрим применение данного способа в одном из случаев. Справедлива следующая лемма.

Лемма 2.1. 1) Функция непрерывна на ; 2) Пусть , причем в матрице нет нулевых столбцов. Тогда ; 3) Пусть , причем в матрице нет нулевых строк. Тогда ; при ; 4) Пусть . Тогда – монотонная невозрастающая функция.

Доказательство. 1) Функция непрерывна по совокупности переменных. Множество замкнуто и ограничено. По условию задачи .

2) При основное ограничение задачи имеет вид неравенства , или для всех . Так как и , получаем . Для необходимо существование , для которого . У вектора по условию есть хотя бы одна положительная координата . Если у матрицы столбец не нулевой, условие не возможно.

3) Пусть для всех . Вычислим минимальное значение , при котором вектор будет допустимым (при этом, очевидно, ):

.

Поскольку у матрицы нет нулевых строк и , то . Таким образом, при ;

4) Пусть , – решение задачи при , – при . Тогда при

,

т.е. пара является допустимой парой в задаче при . Следовательно, .

Лемма доказана.

Теорема 2.2. Пусть , , в матрице нет ненулевых строк, в матрице нет ненулевых столбцов. Тогда в соответствующей модели Неймана существует положение равновесия.

Доказательство. Согласно доказанной лемме, в условиях теоремы функция , задающая оптимальное значение целевой функции в задаче , имеет точку , в которой . Согласно теореме 2.1 это означает существование положения равновесия , в котором и – решения задач и .

Заметим, что , . Поскольку , , получим , , откуда , или .