Теорема о разложении вектора по базису в пространстве

Любой вектор в пространстве может быть разложен и при том единственным образом по трём заданным некомплонарным векторам.

Совокупность точки начала и прямоугольного Декартового базиса в пространстве даст нам прямоугольную Декартовую систему координат в пространстве.

Координаты вектора это проекции на его координатную плоскость.

23. Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Записать форму для вычисления длины вектора. Определить линейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и записать соответствующие формулы.

23: Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо. Длина вектора Модуль вектора ом=под корнем х2+у2+z2(в квадрате)(САМАЯ ОБЫЧНАЯ ОСЬ КОТОРУЮ МЫ ВСЕГДА ЮЗАЕМ)

АB(вектор)=(Хb-Ха,Уb-Уа,Zb-Zа) от точки конца вычесть точки начала /

Ленейные операции над векторами 1слож.Сумма векторов а и b есть вектор C; А+B=C (все велечины векторы) 1)а+B=B+а; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)A+0=A0=A; 4)A+(-A)=0; разность;А-B =C такой чтоб было справедливо равенство B+C=A ;3Произв. Вектора на число α€ R, B=α A , B= │α│ A

24. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства, вывести формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический смысл скалярного произведения.

24) Скалярным произв двух ненулевых векторов наз. число, равное произведению их длин на cos угла между векторами/ Свойства скаляр произв 1 AB=BA комутативное; 2 α(AB)=(Αa)B=A(Bα)сочитательное ; 3 A(B+C)=AB+AC ; Формула для выч: AB=AxBx+AyBy+AzBz; !!!; Cos (A,B) ; Механич смысл:A=│F││S│cos

Сколярное произведение 2-ух векторов определяет работу посторонней силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения на расстояние S

25. Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

25) Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве r называется вектор построенный по следующим требованиям:/ 1)длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ; между ними 2)вектор c ортогонален каждому из векторов a и b; 3)вектор c направлен так, что тройка abc является правой.4 )векторное произведение коллинеарных векторов равно нольвектор

Геометрический смысл смысл |c|=s=|a||b|*sin

Свойства:

1)антипереместительном вектор а х в=-в х а

2)сочитательно относительно ссколярного множителя а х лямда в=(лямда а)х в

3)распределительное (а+в)с=а х с+в х с

4)векторное произведение в координатной форме равно определителю 3-го парядка

26. Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

Сме́шанное произведе́ние векторов — число равное скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .,взятому со знаком +,если тройка векторов правая,если 3-ка векторов левая то-

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

(a,b,c)=(b,c,a)-(c,a,b)—(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b)

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю 3-го порядка составленной из векторов и :

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение a,b,c по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a,b,c ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Распределительное свойство (а+в)сд=асд+всд

27. Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.функций .

Билет № 27
Определение:
Если даны числовые множества x и правило f, позволяющее поставить в
соответствие каждому элементу x из множества X определённое число y, то
говорят заданная функция y=f(x) с областью определения x; пишут y=f(x), x э X.
Переменную x называют независимой или аргументом, y-зависимой или функцией.
Способы задания:
Аналитический, графический, табличный, словесный.
Свойства:
1)Чётность, нечётность. 2)Периодичность 2)Монатонность 3)Нули 4)График.

28. Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.

28) 1.Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция
переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x).
2.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то
есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то естьu = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)],
определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).

3.Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно
последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции.
4.Пусть заданы две функции x(t), y(t); при этом переменная t называется параметром. Тогда говорят, что y как функция
от x задана параметрически.

29. Определить способы задания прямой на плоскости и вывести различные виды уравнений прямой на плоскости в зависимости от способа задания..

1)точкой

2)параллельным вектором

3)точкойи перпендикулярным вектором

4)углом составленным прямой с вектором i

5)отрезками отсекаемыми прямыми на осях координат