МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Типовой расчет содержит семь заданий.

В заданиях I и II предлагается найти неопределенные интегралы, используя их простейшие свойства, такие, как линейность, и основные приемы интегрирования – замену переменной (или внесение под знак дифференциала) и интегрирование по частям. Напомним указанные свойства.

Линейность:

1. .

2. .

Пример 1. Найти .

Решение. Преобразуя подынтегральное выражение в сумму, и используя свойство линейности интеграла, получим сумму двух табличных интегралов:

.

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):

Пусть функция является первообразной для функции на некотором промежутке и функция непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке , причем для всякого значения выполняется неравенство . Тогда будет справедлива формула:

(*),

где .

Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если - первообразная функции , то . Такой прием называют внесением под знак дифференциала.

Пример 2. Найти , .

Решение.

Первый способ. Приведем пример применения формулы *.

Пусть требуется найти интеграл , .

Сделаем замену переменной , то есть . Чтобы применить формулу, нужно сделать замену переменной в подынтегральной функции и положить .

В нашем интеграле и . Тогда .

Делая замену , получим окончательно .

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Приведем пример использования формулы.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Возьмем и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить и v: и .

Тогда .

Замечания.

1. При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

2. Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Если же трансцендентность после дифференцирования не исчезает, то эту функцию включают в состав dv, например, в предыдущем примере за u был взят множитель х, а функция была включена в dv: .