в которой либо целевая функция (6.1), либо ограничения (6.2), либо и то и другое не линейны, называются нелинейными.
Сложность решения задач нелинейного планирования заключается кроме нелинейности условий задачи еще и в том, что некоторые переменные могут изменяться не непрерывно, а принимать ряд заданных фиксированных значений. Кроме того, сложность решений и в том, что целевые функции могут иметь не один, а несколько максимумов (минимумов), и нужно найти глобальный экстремум.
Геометрическая интерпретация задач нелинейного планирования аналогична задачам линейного планирования.
Общая постановка задачи нелинейного планирования может быть сформулирована следующим образом: найти параметры Х* (х1, х2,…, хп), обращающих целевую функцию W = ƒ(х1, х2,…, хп) в mах(min) при условии наложенных ограничений
φ1(х1, х2,…, хп) ≤ b1;
φ2(х1, х2,…, хп) = b2;
……………………….
φi(х1, х2,…, хп) ≥ bi;
……………………….
φm(х1, х2,…, хп) ≤ bm;
хj ≥ 0 j = 1,2,…n;
число ограничений меньше числа переменных; и (или) целевая функция, и (или) ограничения представляются нелинейными зависимостями.
Нелинейные задачи составляют широкий класс настолько сложных задач, что до сих пор невозможно разработать общие методы, подобные симплекс-методу в линейном программировании, которые позволяли бы решать любые нелинейные задачи. Но, несмотря на отсутствие универсальных методов, разработаны способы решения специальных классов задач, и прежде всего задач с выпуклыми (вогнутыми) функциями ƒ(х) и φi(x).
Особенности решения задач нелинейного программирования.
При решении задач нелинейного программирования очень важно знать: 1) выпукло или не выпукло множество решений? 2) является ли критериальная функция W = ƒ(х) выпуклой или вогнутой, или не относится ни к тому, ни к другому классу?
Множество выпукло, если оно содержит точки А и В, а так же все точки прямой АВ.
Функция у = ƒ(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две его точки, принадлежит графику или располагается выше его (рис. 6.1. а). Функция у= ƒ(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется вогнутой, если отрезок, соединяющий любые две его точки, принадлежит графику или располагается ниже его (рис. 6.1. б).
Рис. 6.1
Аналогичные понятия можно привести и для функций многих переменных.
В математике доказывается ряд теорем, которые позволяют определять глобальные экстремумы. Так, для задач, в которых множество допустимых решений выпукло: 1) если ƒ(х) – выпуклая функция, то локальный минимум, определенный на выпуклом множестве Х, совпадает с ее глобальным минимумом на этом множестве; 2) если ƒ(х) – вогнутая функция на заданном выпуклом множестве Х, то локальный максимум ƒ(х) является глобальным.