Відомо, що мікрочастинки мають не лише корпускулярні, а й хвильові властивості. Тому в багатьох явищах їх поведінка принципово відрізняється від передбачень класичної фізики й підпорядкована законам квантової механіки. Одним із таких квантових явищ є ефект Рамзауера. Суть ефекту полягає в аномально слабкому, з огляду на закони класичної фізики, розсіюванні електронних пучків на атомах важких інертних газів ( ) при певних відносно малих значеннях кінетичної енергії електронів.
При проходженні пучка електронів крізь заповнену газом область деякі електрони розсіюються на атомах газу, тобто, відхиляються від початкового напрямку руху, внаслідок взаємодії з атомами. Відтак спостерігається послаблення електронного пучка. Зі збільшенням кінетичної енергії Е і швидкості електрона зменшується час його прольоту поблизу атома, що, за класичною теорією, повинно зменшувати вплив атома на траєкторію руху електрона. Тому, із збільшенням мала б монотонно збільшуватися й прозорість газу для електронів, тобто, - частка не розсіяних електронів, як це схематично показано на рис. 1.
Однак К. Рамзауер у 1921 р. виявив, що при проходженні пучка електронів крізь важкі інертні гази прозорість атомів газу із збільшенням енергії електронів Е, всупереч класичній теорії, змінюється немонотонно. В області невеликих енергій вона стрімко зростає, проходячи через максимум при певному значенні енергії електронів ( залежить від виду газу), рис. 1.
Квантово-механічна теорія пояснює цей ефект особливостями взаємодії електрона з атомами, зумовленими наявністю в електрона хвильових властивостей. Указані хвильові властивості й визначають описану специфічну (не класичну) залежність прозорості атомів від енергії пролітаючих електронів. Причому, мовою квантової механіки прозорість атома - то є імовірність проходження електроном області атома без розсіювання, тобто без зміни напрямку руху.
Дія атома на електрон, що рухається повз нього, визначається електричним полем, яке створюється в околі атома його ядром і електронами. Особливістю атомів інертних газів є сферична симетрія цього поля. Оскільки в цілому атом є електрично нейтральним, то, як це випливає з теореми Гауса, у випадку сферичної симетрії “поза” атомом електричне поле відсутнє. З цієї причини потенціальна енергія взаємодії електрона з атомом відмінна від нуля лише всередині сфери з розмірами атома, і залежить тільки від відстані до ядра: U = . Інакше говорячи, атом створює для електрона, що пролітає, сферично-симетричну потенціальну яму з різко вираженими межами й шириною, рівною поперечнику атома. Тому для одержання залежності прозорості атома від енергії електрона D = D(Е)необхідно визначити ймовірність проходження електрона крізь таку потенціальну яму в залежності від його енергії .
Точне розв’язування цієї квантово-механічної задачі потребує знання явного виду залежності і, до того ж, являє значні математичні труднощі. Тому приймемо спрощену модель - сферичну потенціальну яму замінимо одновимірною прямокутною потенціальною ямою з ефективною глибиною й ефективною шириною , рис. 2.
Отже, замість проходження електрона через плоский шар ширини порядку розмірів атома, усередині якого потенціальна енергія електрона , де - дорівнює усередненій потенціальній енергії електрона, що пролітає поблизу від ядра атома. Така задача є математично простою і, в той же час, якісно правильно відображає поведінку електрона при проходженні області атома й дозволяє пояснити ефект Рамзауера.
Розглянемо рух електрона з постійною енергією з області уздовж осі , скориставшись стаціонарним рівнянням Шрьодінгера:
. (1)
де - маса електрона, - стала Планка, (х) - координатна частина хвильової функції електрона.
Оскільки в нашій моделі прямокутної ями залежність потенціальної енергії електрона від координати U(x) неможливо виразити аналітично (формулою), рівняння (1) записують і розв’язують окремо для кожної області І, ІІ й ІІІ, а потім об’єднують ці розв’язки. Наведемо вид рівнянь і їхніх загальних розв’язків для областей:
(2)
де введені позначення:
(3)
Можна показати, що координатні - функції виду описують електрони, котрі рухаються в додатному напрямку осі , а функції виду - електрони, що рухаються в протилежному напрямку. З цієї причини величина В3 = 0, оскільки в області ІІІ не може бути електронів, які рухаються ліворуч. Квадрат модуля хвильової функції дорівнює щільності ймовірності перебування електрона в області шириною :
.
Тому величина є прямо пропорційною щільності потоку електронів, які “налітають” на яму, а - щільності потоку електронів, які пройшли яму й рухаються далі в області ІІІ. Таким чином, прозорість ями (яка моделює прозорість атома), тобто відсоток електронів, які пройшли область ями, дорівнює:
Тут і надалі будемо використовувати позначення:
Відносну амплітуду знайдемо з умов неперервності хвильової функції та її похідної на межах областей:
.
Підставивши значення х = 0 та х = d у відповідні вирази (1) і поділивши отримані рівняння на , отримаємо:
або, увівши позначення ,
(4)
Звідси можна знайти всі амплітуди . Зокрема, для та виходить:
.
Для прозорості ями маємо:
(5)
Згідно з (3), величини для заданої ями визначаються тільки енергією електрона Е, тому отриманий результат описує залежність від енергії ймовірності проходження електроном області ями. Як видно з (5), ця залежність не є монотонною і при sinK2d = 0 має максимум D = 1. При цьому ймовірність відбивання електрона від ями W = 1 - D, яка в нашій спрощеній моделі відображає розсіювання на атомі, стає рівною 0. Умова виконується при
Þ , =1, 2, …
Звідси випливає, що при значеннях енергії електронів
.
прозорість атомів має максимуми, і розсіювання електронів зникає. Саме в цьому й полягає ефект Рамзауера. Правда, слід зазначити, що в реальних умовах із деяких причин удається спостерігати тільки один максимум прозорості ( ) при енергії електронів
. (6)
Оскільки енергія електрона Е > 0, з (6) випливає, що
,
отже, ефект можливий не при будь-яких значеннях U0 i d. Це пояснює, чому ефект Рамзауера спостерігається тільки для важких інертних газів - лише в цих атомах спостерігається потрібне співвідношення між указаними параметрами. Слід також сказати, що в експерименті розсіювання зникає не повністю, а лише сягає певного мінімуму.
У даній лабораторній роботі експериментально визначається величина E1 і, з використанням заданої “ефективної” ширини ями , оцінюється “ефективна” глибина ями , яка дає уявлення про енергію взаємодії пролітаючих електронів з атомами: