Решение.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

[7], гл.1, гл.2, или [10], Ч.1, гл.1, задачи: [5], Ч.1, гл.1 или [16].

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем?

2. Определители 2-го и 3-го порядка и их вычисление.

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

4. Какие основные свойства определителей?

5. Какие способы вычисления определителей n-го порядка Вы знаете?

6. Матрицы. Частные виды матриц.

7. Операции над матрицами.

8. Обратная матрица и ее вычисление. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

9. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных алгебраических уравнений?

10. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

11. Сформулируйте условие совместности системы линейных алгебраических уравнений.

12. При каком условии система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

13. При каком условии система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение? Что называется фундаментальной системой решений?

14. В чем сущность метода Гаусса?

15. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, пользуясь методом исключения неизвестных, найти ранг системы линейных уравнений?

16. Какие неизвестные в системе линейных уравнений называются базисными, а какие свободными? В каком случае имеет место такая классификация неизвестных? Что называется общим решением системы линейных уравнений?

Варианты заданий для самостоятельного решения

Задача1. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задача 2. Решить систему двумя способами: 1) по формулам Крамера;

2) методом обратной матрицы.

1.		3.		5.
2.		4.		6.
7.		15.		23.
8.		16.		24.
9.		17.		25.
10.		18.		26.
11.		19.		27.
12.		20.		28.
13.		21.		29.
14.		22.		30.

Задача 3. Выполнить действия над матрицами .

№	Матрица	Матрица	№	Матрица	Матрица
1.			4.
2.			5.
3.			6.
7.			19.
8.			20.
9.			21.
10.			22.
11.			23.
12.			24.
13.			25.
14.			26.
15.			27.
16.			28.
17.			29.
18.			30.

Задача 4. Решить матричное уравнение.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 5. Решить систему однородных уравнений, выделив какой-нибудь фундаментальный набор решений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Решение варианта

Задача 1. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее методом Гаусса:

Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы, приводя ее к ступенчатому виду:

~ ~ ~

Для упрощения дальнейших вычислений сначала из второй строки вычитаем первую, оставив без изменения все строчки, кроме первой. Затем первую строку устно умножаем на –3 и складываем со второй, потом – на –4 и складываем с третьей строкой, и, наконец, на –2 и прибавляем к четвертой строке. В результате все элементы первого столбца, кроме единицы, стоящей в первой строке, равны нулю. Сравнивая элементы второго столбца, видим, что имеется возможность получить единицу во втором столбце и второй строке, если из второй строки вычесть четвертую (что снова упростит дальнейшие вычисления):

~ ~

Умножим вторую строку на –14 и прибавим ее к третьей строке, затем – на –4 и прибавим к четвертой строке. Так получены нулевые элементы второго столбца, расположенные ниже главной диагонали. Осталось умножить третью строку на –13 и прибавить к четвертой, предварительно умноженной на 23.

В результате ниже главной диагонали расширенной матрицы имеем нули, значит, матрица приведена к треугольному виду. На этом закончен прямой ход метода Гаусса. На этом этапе удобно провести исследование системы на совместность, для чего определим ранг прямой и расширенной матрицы системы. Количество ненулевых элементов главной диагонали равно 4, значит, ранг основной матрицы равен 4. Очевидно, ранг расширенной матрицы тоже равен 4.Система совместна, причем имеет единственное решение, так как число неизвестных совпадает с рангом матрицы. С помощью обратного хода найдем это решение. Полученная матрица соответствует системе:

Из последней строки найдем , подставим найденное значение в третью строку и получим из второй строки найдем из первой – .

Задача 2. Решить систему двумя способами: 1) по формулам Крамера;

2) методом обратной матрицы.

Решение. Вычислим определитель системы:

Так как , система имеет единственное решение. Для нахождения этого решения по формулам Крамера вычислим вспомогательные определители:

, , .

Находим решение системы:

, , .

Найдем решение системы методом обратной матрицы. Определяем алгебраические дополнения элементов матрицы системы:

Решение системы уравнений определяем по формуле

где , , .

.

Таким образом, .

Задача 3. Выполнить действия над матрицами

где

Решение.

Задача 4. Решить матричное уравнение:

Решение.Уравнение в матричном виде имеет вид: , умножив слева на обратную матрицу , имеем , откуда .

Находим определитель матрицы A:

Вычислим алгебраические дополнения матрицы A, а затем и обратную матрицу :

= .

Задача 5. Решить систему однородных уравнений, выделив какой-нибудь фундаментальный набор решений:

Решение. Запишем матрицу коэффициентов и, совершив элементарные преобразования со строками, приведем ее к ступенчатому виду:

~ ~ ~

Ранг матрицы . Вернемся от матрицы к системе уравнений

Возьмем базисными переменными и , тогда свободными переменными будут и . Выразим базисные переменные через свободные:

.

Решение системы можно записать в виде вектора

.

Построим фундаментальную систему решений по следующей схеме: присвоим свободным переменным поочередно значение, равное 1, остальные свободные переменные приравняем к нулю, выражаем каждый раз базисные переменные через выбранный набор свободных переменных:

, .

Общее решение системы имеет вид:

,

где и – произвольные постоянные.