Использование формул преобразования произведения двух синусов или косинусов, или синуса на косинус равных углов в сумму.
;
;
.
Пример 18. Найти .
Решение
.
Пример 19. Найти .
Решение
.
Решить самостоятельно
Найти
1) Ответ: ;
2) Ответ: .
I Использование формул синуса и косинуса половинного аргумента
С помощью этих формул понижается степень функции, применяются они, когда в подынтегральном выражении находится синус или косинус в четной степени.
;
.
Пример 20. Найти .
Решение
.
Пример 21. Найти .
Решение
.
В этом примере, как вы видите, дважды применялась формула для понижения степени и .
Решить самостоятельно
Найти
1) Ответ: ;
2) Ответ: .
III Использование формулы
Эта формула используется, когда в подынтегральном выражении стоит синус или косинус в нечетной степени.
Пример 22. Найти .
Решение
Первый интеграл табличный, а второй находим способом подстановки:
Подставляем значения и во второй интеграл, оставляя первый без изменения, получим:
От новой переменной возвращаемся к старой переменной
Решить самостоятельно
Найти
1) Ответ: .
IV Использование разных формул из тригонометрии
Пример 23. Найти .
Решение
.
При решении использованы формулы:
1) ;
2) .
Третий способ – применение тригонометрических подстановок.
Интегралы, содержащие:
– решаются часто подстановкой ;
– решаются часто подстановкой .
Пример 24. Найти .
Решение
Введем подстановку , так как , продифференцируем:
.
В подынтегральном выражении вместо и подставим найденные значения, получим:
.
Понижаем степень функции, применяя формулу :
.
Теперь выразим новую переменную через старую . Из подстановки имеем .
Остается подставить в полученный результат и упростить далее.
Упростим по формуле , получим:
.
Использованы знания обратных тригонометрических функций:
;
;
.
Подставляем значение , получаем ответ:
.
Пример 25. Найти .
Решение
Вводим подстановку , тогда , продифференцируем подстановку:
;
.
Подставим в подынтегральное выражение вместо , и полученные значения.
.
Находим интеграл методом подстановки:
.
Подставляем в полученный интеграл:
.
Выразим через старую переменную . Из подстановки имеем: , тогда .
Зная, что , из этой формулы найдем :
.
Имеем:
.
Значение подставим в полученный конечный результат.
.
Решить самостоятельно
Найти
1) Ответ: .
Четвертый способ интегрирования – интегрирование по частям.
Некоторые интегралы нельзя найти предыдущими способами, особенно при вычислении коэффициентов ряда Фурье. Поэтому необходим новый способ – интегрирование по частям. Чтобы этим способом решать, необходимо вывести формулу.
Пусть и – дифференцируемые функции аргумента . Известна формула производной произведения
или
,
откуда дифференциал произведения
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получим
или
.
Отсюда
Полученное равенство называется формулой интегрирования по частям.
Пример 26. Найти .
Решение
Положим , .
Тогда , .
(Произвольное постоянное интегрирование напишем в окончательном результате).
Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:
.
Пример 27. Найти .
Решение
Положим , .
Тогда , .
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
Заметим, что для выбора множителей и нельзя дать общих указаний. Если положить и , то – интегрирование усложняется. Важно правильно сделать выбор множителей и .
Пример 28. Найти .
Решение
Положим , .
Тогда , .
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
.
Интеграл правой части равенства находим способом подстановки:
.
Находим
.
Таким образом,
.
Пример 29. Найти .
Решение
Положим , .
Тогда
, .
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
Запись решения следует производить так:
.
Решить самостоятельно
Найти
1) Ответ: ;
2) Ответ: .
Интегрирование в отличие от дифференцирования требует от решающего известной изобретательности и смекалки, что вырабатывается в процессе решения.
Если хотите лучше усвоить интегрирование, решайте больше примеров на интегрирование.