русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Интегрирование некоторых тригонометрических функций


Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 740; Нарушение авторских прав


Использование формул преобразования произведения двух синусов или косинусов, или синуса на косинус равных углов в сумму.

;

;

.

Пример 18. Найти .

Решение

.

Пример 19. Найти .

Решение

.

 

Решить самостоятельно

Найти

1) Ответ: ;

2) Ответ: .

 

I Использование формул синуса и косинуса половинного аргумента

С помощью этих формул понижается степень функции, применяются они, когда в подынтегральном выражении находится синус или косинус в четной степени.

;

.

Пример 20. Найти .

Решение

.

Пример 21. Найти .

Решение

.

 

В этом примере, как вы видите, дважды применялась формула для понижения степени и .

Решить самостоятельно

Найти

1) Ответ: ;

2) Ответ: .

 

III Использование формулы

Эта формула используется, когда в подынтегральном выражении стоит синус или косинус в нечетной степени.

Пример 22. Найти .

Решение

Первый интеграл табличный, а второй находим способом подстановки:

 

Подставляем значения и во второй интеграл, оставляя первый без изменения, получим:

От новой переменной возвращаемся к старой переменной

Решить самостоятельно

Найти

1) Ответ: .

IV Использование разных формул из тригонометрии

Пример 23. Найти .

Решение

.

При решении использованы формулы:

1) ;

2) .

Третий способ – применение тригонометрических подстановок.

Интегралы, содержащие:

 

– решаются часто подстановкой ;

– решаются часто подстановкой .

Пример 24. Найти .

Решение

Введем подстановку , так как , продифференцируем:

.

В подынтегральном выражении вместо и подставим найденные значения, получим:

 

.

Понижаем степень функции, применяя формулу :

 

.



 

Теперь выразим новую переменную через старую . Из подстановки имеем .

Остается подставить в полученный результат и упростить далее.

Упростим по формуле , получим:

.

Использованы знания обратных тригонометрических функций:

 

;

;

.

Подставляем значение , получаем ответ:

.

Пример 25. Найти .

Решение

Вводим подстановку , тогда , продифференцируем подстановку:

;

.

Подставим в подынтегральное выражение вместо , и полученные значения.

.

Находим интеграл методом подстановки:

.

Подставляем в полученный интеграл:

.

Выразим через старую переменную . Из подстановки имеем: , тогда .

Зная, что , из этой формулы найдем :

.

Имеем:

.

Значение подставим в полученный конечный результат.

.

Решить самостоятельно

Найти

1) Ответ: .

Четвертый способ интегрирования – интегрирование по частям.

 

Некоторые интегралы нельзя найти предыдущими способами, особенно при вычислении коэффициентов ряда Фурье. Поэтому необходим новый способ – интегрирование по частям. Чтобы этим способом решать, необходимо вывести формулу.

Пусть и – дифференцируемые функции аргумента . Известна формула производной произведения

или

,

откуда дифференциал произведения

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получим

или

.

Отсюда

 

Полученное равенство называется формулой интегрирования по частям.

 

Пример 26. Найти .

Решение

Положим , .

Тогда , .

(Произвольное постоянное интегрирование напишем в окончательном результате).

Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

.

Пример 27. Найти .

Решение

Положим , .

Тогда , .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

Заметим, что для выбора множителей и нельзя дать общих указаний. Если положить и , то – интегрирование усложняется. Важно правильно сделать выбор множителей и .

Пример 28. Найти .

Решение

Положим , .

Тогда , .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

.

Интеграл правой части равенства находим способом подстановки:

.

Находим

.

Таким образом,

.

Пример 29. Найти .

Решение

Положим , .

Тогда

, .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

Запись решения следует производить так:

.

Решить самостоятельно

Найти

1) Ответ: ;

2) Ответ: .

Интегрирование в отличие от дифференцирования требует от решающего известной изобретательности и смекалки, что вырабатывается в процессе решения.

Если хотите лучше усвоить интегрирование, решайте больше примеров на интегрирование.

 


План 2005/2006, поз.

 

 

Гресюк Татьяна Казимировна

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интегралы, приводимые к табличным после линейного преобразования дифференциала | 


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.008 сек.