Формула интегрирования по частям имеет вид
Справедливость формулы вытекает из того факта, что
Отсюда, интегрируя получаем
Откуда
Формула интегрирования по частям сводит вычисление интеграла
К вычислению интеграла . Поэтому метод интегрирования
по частям применяют тогда, когда подынтегральное выражение представляет произведение двух дифференцируемых функций, причем производная от одной из функций, проще, чем заданная функция.
Например:
1.
тогда
полагаем
следовательно
2.
тогда
полагаем
следовательно
3.
тогда
Применим формулу интегрирования по частям повторно:
Полагаем
4.
тогда
полагаем
Следовательно
Интеграл правой части снова берем по частям
Полагаем
Тогда
Следовательно
Следовательно
Откуда