Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Кафедра «Высшей математики»

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Специальный раздел высшей математики»

Вариант №6

Выполнил: ст. гр. МПГС-

ХХХХ

Руководитель: доцент кафедры

ХХХХ

Ростов-на-Дону

2014г.
Планирование эксперимента

По мере роста сложности исследуемых процессов и явлений возрастают затраты на аппаратуру и проведение эксперимента. B ходе испытаний собирается большое количество данных, требующих обработки и анализа. Широкое применение экспериментальных методов привело к созданию теории эксперимента, которая призвана дать ответы на следующие вопросы:

1. Как нужно организовать эксперимент, чтобы наилучшим образом решить поставленную задачу (в смысле затраты времени и средств или точности результата);

2. Как следует обрабатывать эксперимент, чтобы получить максимальное количество информации об исследуемом объекте или явлении;

3. Какие обоснованные выводы можно сделать об исследуемом объекте по результатам эксперимента.

Рассматривается общая модель для исследования качества технической системы. Ha такой объект действуют четыре группы факторов:

а) контролируемые факторы, которые допускают целенаправленные точно поддерживающие параметры; б) контролируемые группы факторов, которые в отличии от факторов первой группы не допускают целенаправленных изменений в ходе исследования; в) группа, включающая в себя переменные, которые часто называют выходными; г) неконтролируемые факторы.

Практически устанавливается зависимость между одним из выходных параметров у и входными контролируемыми факторами X_i :

Ha практических занятиях рассматриваются модели полного факторного эксперимента (ПФЭ) в так называемых линейных моделей для случая одного

фактора, двух факторов, трех факторов, четырех факторов и так далее. Показывается, что число экспериментов должно быть N = 2*, где к - число

в различных пределах и иметь различную размерность, что усложняет обработку эксперимента и не обеспечивает нужную степень точности. Поэтому от размерных X_j переходят к безразмерным X_i с помощью соотношения используемых факторов. При числе факторов три и выше имеет место избыточность числа экспериментов по сравнению с числом определяемых коэффициентов многочлена «линейной аппроксимации», что приводит к необходимости использования метода наименьших квадратов (MHK) для их нахождения.

Для простоты рассмотрим случай трех факторов и ограничимся «линейной моделью»:

у = а + fr,x, + b₂x₂ + b₃x₃ + C₁X₁X₂ + C₂X₁X₃ + C₃X₂X₃ .

Предположим, что нами проведен ПФЭ с числом повторения m = 3 экспериментов в каждой его вершине (табл. 4):

Таблица 4

Составляем Excel – таблицу (табл.5)

Видно, что векторы X₁, X₂, X₃, X₁ • X₂, X₁ • X₃, X₂ • X₃ ортогональны.

Y-F

Поэтому все коэффициенты определяются соотношениями

Заполняем вначале заголовки таблицы - ячейки A1:Q1 ,A12 и

A17:A23. Затем вводим номера экспериментов в ячейках A3:A10 . Вводим исходные данные эксперимента в ячейки B3:D10 и H3:J10 . B ячейки E3 , F3 и G3 записываем соответственно формулы: =B3*C3 , =B3*D3 и =C3*D3 . Выделяем ячейки E3:G3 и производим протяжку формул до ячейки GlO . B ячейках КЗ - Q3 записываем соответственно формулы:

=(H3+I3+J3)/3, =K3*B3 , =K3*C3 , =K3*D3 , =K3*E3 , =K3*F3 , =K3*G3 . Выделяем диапазон K3:Q3 и производим протяжку формул до ячейки QlO . B ячейках C17 - C23 записываем формулы, описанные в ячейках A17 - A23 . B ячейке B12 находим сумму диапазона B3 - BlO и производим протяжку формулы до ячейки Q12 . B результате этих действий в ячейках C17 - C23 получаем коэффициенты интересующего нас многочлена:

у = 12,564 - 0,794x₁ + 0,792х₂ + 0,495х₃ + 1,725 х_хх₂ - 0,973*,¾ - 2,416х₂х₃

Отметим, что при записи аппроксимирующего многочлена мы в коэффициентах оставили три знака после запятой.

Целью получения аппроксимирующего многочлена является возможность нахождения оптимальных значений определяющих факторов. При большом числе факторов это является достаточно сложной задачей. При трех же факторах и, если нас устраивает невысокая точность их определения, нахождение minj) и maxj) можно определить методом простого перебора.

Программ на VBA , которая определяет оптимальные значения у,

представлена для нашего аппроксимирующего многочлена ниже.

В ячейках КЗ-Q3 записываем соответственно формулы: =(H3+I3+J3),

=K3*B3 , =K3*C3 , =K3*D3 , =K3*E3 , =K3*F3 , =K3*G3 . Выделяем диапазон K3:Q3 и производим протяжку формул до ячейки QlO . B ячейках C17 - C23 записываем формулы, описанные в ячейках A17 - A23 . B ячейке B12 находим сумму диапазона B3 - BlO и производим протяжку формулы до ячейки Q12 . B результате этих действий в ячейках C17 - C23 получаем коэффициенты интересующего нас многочлена:

у = 12,564 - 0,794x₁ + 0,792х₂ + 0,495х₃ + 1,725 х_хх₂ - 0,973*,¾ - 2,416х₂х₃

Отметим, что при записи аппроксимирующего многочлена мы в коэффициентах оставили три знака после запятой.

Целью получения аппроксимирующего многочлена является возможность нахождения оптимальных значений определяющих факторов. При большом числе факторов это является достаточно сложной задачей. При трех же факторах и, если нас устраивает невысокая точность их определения, нахождение minj) и maxj) можно определить методом простого перебора.

Программ на VBA , которая определяет оптимальные значения у,

представлена для нашего аппроксимирующего многочлена ниже:

Private Sub workbook_open()

Const h = 0.01

Consta = 17.875, b1 = 2.293, b2 = 1.762, b3 = -1.091

Const c1 = 1.656, c2 = -2.183, c3 = -1.214

Dim x1, x2, x3, y As Single

Dim x1min, x2min, x3min, ymin As Single

Dim x1max, x2max, x3max, ymax As Single

x1max = 10: x2max = 10: x3max = 10: ymax = -100000

x1min = 10: x2min = 10: x3min = 10: ymin = 100000

For x1 = -1 To 1 + h / 2 Step h

For x2 = -1 To 1 + h / 2 Step h

For x3 = -1 To 1 + h / 2 Step h

y = a + b1 * x1 + b2 * x2 + b3 * x3 + c1 * x1 * x2 + c2 * x1 * x3 + c3 * x2 * x3

If y < ymin Then

ymin = y

x1min = x1: x2min = x2: x3min = x3

End If

If y > ymax Then

ymax = y

x1max = x1: x2max = x2: x3max = x3

End If

Next x3

Next x2

Next x1

Range("A1").Value = "Ymin ="

Range("B1").Value = ymin

Range("A2").Value = "X1min ="

Range("B2").Value = x1min

Range("A3").Value = "X2min ="

Range("B3").Value = x2min

Range("A4").Value = "X3min ="

Range("B4").Value = x3min

Range("A6").Value = "Ymax ="

Range("B6").Value = ymax

Range("A7").Value = "X1max ="

Range("B7").Value = x1max

Range("A8").Value = "X2max ="

Range("B8").Value = x2max

Range("A9").Value = "X3max ="

Range("B9").Value = x3max

End Sub

Для нашего примера оптимальные значения будут (табл. 6):

Таблица 6

Адекватность модели эксперименту

Функция отклика, аппроксимируемая полиномом, коэффициенты которой найдены по методу наименьших квадратов, может и не соответствовать (быть неадекватной) наблюдаемым значениям величины у.

Поэтому всегда, прежде чем использовать модель для исследования технической системы необходимо проверить ее адекватность (при нахождении мы опередили порядок исследования модели).

Для оценки используется критерий Фишера.

Наиболее надежные результаты проверки адекватности получают в планах, обеспечивающих одинаковую точность предсказания значений функции отклика в точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра эксперимента. Отметим, что ПФЭ удовлетворяет этому условию.

Проверку адекватности математической модели выполняем в несколько этапов:

1. Находим дисперсию адекватности:

- число параллельных

опытов в і-ой строке матрицы планирования, -число коэффициентов аппроксимирующего многочлена.

Так как у нас , то здесь

Jf_i-среднее наблюдаемое, у₍ - значение функции отклика, предсказанное по аппроксимирующему многочлену в i - ом опыте;

2. Находим F- критерия Фишера: где

, N- число опытов,

m -число повторяемости эксперимента в каждой вершине ПФЭ;

3. Определяем число степеней свободы:

1. Выбираем уровень значимости - вероятность

ошибки первого рода (вероятность того, что правильная гипотеза будет отвергнута);

2. Используя таблицу критических значений критерия Фишера по

заданным находим

Если то считаем, что полученный аппроксимирующий

многочлен адекватен экспериментальным данным. B противном случае - нет.

Для проверки адекватности нашего аппроксимирующего многочлена произведем расчеты по предлагаемой программе на VBA :

Private Sub Workbook_Open()

Const n = 8, m = 3, L = 7, f1 = 1, f2 = 16

Const a = 17.875, b1 = 2.293, b2 = 1.762, b3 = -1.091, c1 = 1.656, c2 = -2.183, c3 = -1.212

Dim x1(1 To n), x2(1 To n), x3(1 To n) As Single

Dim y1(1 To n), y2(1 To n), y3(1 To n) As Single

Dim Ysr(1 To n), Yshap(1 To n) As Single

Dim Dad, Dvospr, Fop As Single

Dim i As Integer

x1(1) = 1: x1(2) = -1: x1(3) = 1: x1(4) = -1: x1(5) = 1: x1(6) = -1: x1(7) = 1: x1(8) = -1

x2(1) = 1: x2(2) = 1: x2(3) = -1: x2(4) = -1: x2(5) = 1: x2(6) = 1: x2(7) = -1: x1(8) = -1

x3(1) = 1: x3(2) = 1: x3(3) = 1: x3(4) = 1: x3(5) = -1: x3(6) = -1: x3(7) = -1: x3(8) = -1

y1(1) = 18.87: y1(2) = 13.92: y1(3) = 15.41: y1(4) = 16.88: y1(5) = 27.46: y1(6) = 17.68:

y1(7) = 14.76: y1(8) = 14.08

y2(1) = 18.47: y2(2) = 14.47: y2(3) = 17.67: y2(4) = 19.2: y2(5) = 28.89: y2(6) = 18.18:

y2(7) = 17.55: y2(8) = 12.39

y3(1) = 19.58: y3(2) = 12.87: y3(3) = 17.18: y3(4) = 16.89: y3(5) = 28.25: y3(6) = 17.01:

y3(7) = 17.93: y3(8) = 13.42

For i = 1 To n

Ysr(i) = (y1(i) + y2(i) + y3(i)) / 3

Yshap(i) = a + b1 * x1(i) + b2 * x2(i) + b3 * x3(i) + c1 * x1(i) * x2(i) + _

c2 * x1(i) * x3(i) + c3 * x2(i) * x3(i)

Next i

Dad = 0

For i = 1 To n

Dad = Dad + (Ysr(i) - Yshap(i)) ^ 2

Next i

Dad = Dad * m / (n - L)

Dvospr = 0

For i = 1 To n

Dvospr = Dvospr + (y1(i) - Yshap(i)) ^ 2 + (y2(i) - Yshap(i)) ^ 2 + (y3(i) - Yshap(i)) ^ 2

Next i

Dvospr = Dvospr / n / (m - 1)

Fop = Dad / Dvospr

Range("A1").Value = "Fop="

Range("B1").Value = Fop

Range("A2").Value = "Dvospr="

Range("B2").Value = Dvospr

Range("A3").Value = "Svospr="

Range("B3").Value = Dvospr ^ 0.5

End Sub

Значения вычисляемых параметров даны в следующей Excel - таблице

(Таблица 7)

Число степеней свободы: f_l = N -l =8-7 = 1, f₂ = N(m-1) =8 (3-1)= 16,

q = 0,05 =5%.

Значения критерия Фишера F для q = 0,05 Таблица 8

находим критическое значение параметра Фишера F = 4,5 . по таблице 8

Таким образом, критерий Фишера F_кр=4,5. Т.к. F_ор=11.83 > F_кр. .

Полученный аппроксимирующий многочлен неадекватен экспериментальным данным.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Из уравнения регрессии мы видим, что некоторые коэффициенты малы по сравнению со свободным членом. По всей видимости, их можно отбросить. Рассмотрим значимость коэффициентов уравнения регрессии.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверить для каждого коэффициента в отдельности по t - критерию Стюдента:

2. для всех коэффициентов уравнения регрессии составляет t - отношения:

значением для уровня значимости q = 0,05 и числом степеней свободы ; в нашем случае / = 16; по таблице t - критерия

Стюдента находим ; если t отношения меньше ,то

соответствующий коэффициент не является значимым и его можно отбросить; в противном случае соответствующий коэффициент является значимым.

По табл. 9 критерия Стюдента с уровнем значимости q=0,05 t=2,12.:

Значения t - критерия Стьюдента Таблица 9

находим . Составляем t отношения(табл.10)

Все коэффициенты значимые. Аппроксимирующий многочлен представим в виде:

.

Так как коэффициенты аппроксимирующего многочлена уравнения регрессии найдены с помощью свойств ортогональности рассматриваемых векторов, то эти коэффициенты не надо пересчитывать.

Таблица 10

Незначимость коэффициента уравнения полиномиальной регрессии может быть обусловлена:

Фактор, соответствующий незначимому коэффициенту, не влияет на функцию отклика;

1. Выбран малый шаг варьирования данного фактора (в размерном виде);

2. Экстремум функции отклика расположен вблизи центра планирования.

Ha практических занятиях рассматриваются линейные модели

которые позволяют проводить дробный факторный эксперимент. Описываются случаи проведения дробного факторного эксперимента с числом факторов четыре и выше. Ha занятиях обсуждается, когда дробный факторный эксперимент дает хорошие результаты. Показывается, что в случае неадекватностии «линейного аппрок­симирующего» многочлена приходится выбирать модели, содержащие

Литература

1.Конопленко Е.И., Хореева H.K., Лапусь А.П. Методические указания по курсу «Планирование эксперимента» для студентов заочной формы обучения. - М.: Московский государственный университет пищевых производств, 2011.– 44

2.Синдяева Н.И., Вилисова H.T. Введение в теорию планирования эксперимента. - М.: МГТУ, 2011. - 32 с.

3.Сохин A.C., Скорник B.A. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методическое пособие курса «Методы вычислений» для студентов 3-4 курсов механико­математического факультета (специальность: прикладная математика) - Харьков, 2004. - 28 с.

4.Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельников Г.М Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. - 624 с.

5.Самарский A.A. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2005. - 288 с.