Непосредственное вычисление пределов.

Решение задач на вычисление пределов.

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;

2. , если f(х)®0 при х®а;

3. , если f(х)®¥ при х®а;

4. , если g(х)®0, f(х)® ¥ при х®а, например и т.д.

Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

5. Докажем, что . При х ®+¥ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При справедливо неравенство (оно справедливо при n=2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n =2n <2 , т.е. оно верно и при n +1). Следствие: , т.е. последовательность ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x>0. Тогда , где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. . Устремим х ®+¥, тогда и n ®¥. Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теоремео сжатой функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что при а>1.

6. при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда , у ®+¥ при х ®+¥, и .

7. Как следствие при а>1, b>1.

8. (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у ®+¥ при х ®+0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому .