Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющейся по синусоидальному закону:
i = Im sin ( 2p/T + yi ) = Im sin ( wt + yi )
(1)
Он определяется тремя величинами: амплитудой Im, угловой частотой w и начальной фазой yi . Величина i называется мгновенным значением тока.
Периодические ЭДС напряжения и токи характеризуются действующими и средними значениями – E, U, I, Eср, Uср, Iср..
В цепях переменного тока в качестве нагрузки служат активное сопротивление r, индуктивность L и емкость C. При синусоидально изменяющемся токе падения напряжения на данных по следующими формулам:
Ur = ri = r Im sin ( wt + yi) ;
(2)
UL = L di / dt = wL Im cos (wt + yi) = wL I m sin (wt + yi+ p/2); (3)
UC =1/ωC òidt = - I m /ωC cos (wt + yi) =Im /wC sin (wt + yi - p/2) ; (4)
В выражении (3) произведение wL обозначают XL
и называют индуктивным сопротивлением: XL = wL. В выражении (4) 1/wC обозначают XC и называют емкостным сопротивлением: XC= 1/wС.
В случае последовательного соединения элементов уравнение цепи для мгновенных значений имеет вид:
U = Ur + U L + U C = ri + L di/dt +1/C ò idt .
(5)
Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие угловую частоту w, можно изображать векторами, вращающимися с угловой скоростью w; причем длина вектора определяется в соответствующем масштабе амплитудой ЭДС, напряжения и тока. Если по оси абцисс отложить действительные числа , а по оси ординат – мнимые числа , то этот вектор будет соответствовать комплексному числу . В случае синусоидально изменяющегося тока вектор тока соответствует комплексному числу İm , называемому комплексной амплитудой тока.
Комплексную амплетуду тока İm, можно записать в алгебраической, тригонометрической, показательной и полярной формах: ,
İm = I’m + j I’’m = I m ( cos y + j sin y ) = I m e jy = I m Ly;
(6) где Im – модуль, y - аргумент комплексного числа.
Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока İ понимают частное от деления комплексной амплитудой на √2:
İm = İm / √2 = I m / √2• e jy= Iejy.
(7)
Падения напряжения на элементах цепи переменного тока в комплексной форме имеют вид:
Úr = rI , ÚL = jωLİ, ÚC = -j• 1/ ωC • İ.
(8)
Уравнения (5) в комплексной форме имеет вид:
Ú = rİ.+ jω L İ - İ j / ωC = İ [ r + j (ω L – 1/ ωC)].
(9)
В последнем выражении Z= r + j(ω L – 1/ ωC) = r + jx = zeiφ. (10)
называется комплексным сопротивлением, где r- активное сопротивление; X- реактивное сопротивление; z – полное комплексное сопротивление; φ – его аргумент.
Под комплексной проводимостью Yпонимают величину обратную комплексному сопротивлению Z:
Y = 1/Z = 1/ r + jx = r – jx / r2 + x2 = (r / r2 + x2 ) – (jx / r2 + x2) = g – jb,
где g = r / r2 + x2 активная проводимость, b = x / r2 + x2 – реактивная проводимость.
Применение комплексных чисел позволяет перейти от уравнения, составленного для мгновенных значений и являющегося дифференциальным (5), к алгебраическому уравнению, составленному относительно комплексов тока и ЭДС (9). В связи с этим расчет цепей переменного тока существенно упрощается.
Диаграмма, изображающая совокупность векторов на комплексной плоскости, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.
Выражению (9) соответствует следующая векторная диаграмма (рис. 8)
Из данной векторной диаграммы можно получить треугольник сопротивлений (рис. 9) для рассматриваемой цепи, разделив стороны этого треугольника на комплексный ток İ, из которого следует, что cos φ = r /z ; sin φ = x/z = (X L - XC)/ z.
Эти выражения показывают, что угол сдвига фаз φ между током İ и напряжением Ú питающей сети зависит от характера сопротивлений, включенных в цепь переменного тока.
Умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока в цепи I2, получим треугольник мощностей (рис. 10). Активная мощность цепи переменного тока P = U I cos φ = Scos φ. Из треугольника мощностей можно установить взаимосвязь между активной P, полной S и реактивной Q мощностями электрической цепи: P = S cos φ; Q = S cos φ; S = U I = √ P2+Q2.
При этом реактивная составляющая полной мощности цепи находится как разность реактивной индуктивности QL и реактивной емкости QC ее составляющих; Q = QL + QC.
Выражения для полной мощности цепи переменного тока в комплексной форме записывают в следующем виде:
S = Ú I* = P + jQ = P + j (QL + QC.) и S = S (cos φ + j sin φ),
где I* = Ie-jφi – сопряженное значение комплексного тока İ = I ejφi.
Уравнения (5) в комплексной форме имеет вид: