Координаты середины отрезка

Пусть известны координаты концов отрезка: , . Тогда точка - середина отрезка находится следующим образом:

Пример 9.Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку , воспользовавшись формулой (3.2):

Остается найти угловой коэффициент прямой , применяя формулу (2.3):

Таким образом, уравнение прямой выглядит так:

или, после упрощений,

Пример 10.(Образец выполнения задачи 5 из контрольной работы).

Даны вершины треугольника . Найти

a) уравнение стороны ;

b) уравнение высоты ;

c) уравнение медианы ;

d) точку пересечения высоты и медианы .

Решение. a) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

.

Находим угловой коэффициент прямой по двум заданным точкам

,

.

b) Используем уравнение пучка того же, что и в пункте a):

.

Для нахождения углового коэффициента высоты воспользуемся условием перпендикулярности прямых (рис. 8):

значит, , и тогда

c) Для нахождения медианы используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

Найдем точку . Т.к. - середина отрезка , то , т.е. . Тогда

,

.

d) Для того, чтобы найти точку пересечения прямых и (назовем эту точку ), следует решить систему:

.

Таким образом, .n

Пример 11(Образец выполнения задачи 6 из контрольной работы). Построить многоугольник и вычислить значение функции в его вершинах:

.

Решение. Построим данные в условии прямые (рис.9): - уравнение оси ;

- уравнение оси ; .

Рис. 9

Для того, чтобы построить прямую, достаточно взять две точки: , т.е. прямая проходит через точки (0;4) и (-4;0). Прямая проходит через точки (0;7) и ( ;0).

Итак, мы получили многоугольник . Координаты вершин мы знаем, а координаты вершины найдем, решая систему

:

т.е.

Вычислим значения функции в полученных вершинах многоугольника:

n

3.2 Прямая в пространстве

Пусть заданы вектор и точка (рис. 10)

Рис. 10

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора имеют вид:

(3.4)

Здесь - координаты текущей точки прямой, а - параметр, принимающий все значения от - до . При этом существует взаимно однозначное соответствие между значениями и точками прямой. Вектор называют направляющим (или базисным) вектором прямой.

Иногда используют также каноническиеуравнения прямой:

.

Пример 11.(Образец выполнения задачи 7(a) из контрольной работы). Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение. В качестве направляющего возьмем вектор (рис. 11),

Рис. 11

а в качестве фиксированной точки – точку и запишем искомые параметрические уравнения

Канонические уравнения данной прямой будут иметь вид:

.n

Пример 12. При каких и прямые

и

параллельны? Составить уравнение прямой, параллельной данным и проходящей через точку

Решение. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты пропорциональны

,

откуда Прямая, параллельная данным и проходящая через точку , имеет тот же направляющий вектор (3;-2;-1); ее параметрические уравнения таковы

, . n