Комплексные числа применяются, в частности, для решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица.
Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается , т.е. , .
Действительное число является частным случаем комплексного при . Комплексные числа вида , не являющиеся действительными (т.е. при ), называются мнимыми, а при , , т.е. числа вида - чистомнимыми.
Числа и называются сопряженными. Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если , . В частности , если и .
Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом:
1. Сложение (вычитание) комплексных чисел:
.
2. Умножение комплексных чисел:
.
В частности,
3. Деление двух комплексных чисел:
Пример 7.Даны два комплексных числа и . Найти , , , .
Решение.
,
,
,
.
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получаем:
.n
Пример 8.Решить квадратное уравнение .
Решение.
Используя, хорошо известную формулу нахождения корней квадратного уравнения, получим:
.
Проверить правильность решения можно с помощью теоремы Виета:
Действительно,
.n
Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости .
Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначное. Оси и , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями (рис. 4).
С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается :
.
Угол , образованный радиус-вектором с осью , называется аргументом комплексного числа и обозначается .
Очевидно, что
, .
Следовательно, комплексное число можно представить как:
.
Данное представление комплексного числа, где , , называется тригонометрической формой комплексного числа.