Вектор называется собственным вектором матрицы , если найдется такое число , что
(1.6)
Число называется собственным значением матрицы , соответствующим вектору .
Равенство (1.6) можно записать в развернутом виде:
.
Откуда получим
или в матричном виде
.
Полученная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы обращался в нуль:
(1.7)
Определитель является многочленом -ой степени. Он называется характеристическим многочленом матрицы , а уравнение (1.7)– характеристическим уравнением матрицы .
Теорема 6.Корни характеристического уравнения матрицы (если они существуют) и только они являются собственными значениями этой матрицы.
Пример 13.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
или ,
откуда собственные значения матрицы : , .
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:
или ,
откуда , т.е. . Положив , мы получим, что вектор при любом является собственным вектором матрицы с собственным значением . Аналогично, получим, что вектор при любом является собственным вектором матрицы с собственным значением .n
Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
Решение. После преобразований (проделайте это самостоятельно) характеристическое уравнение примет вид:
.
Имеем далее
,
откуда , .
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению :
Решая полученную систему методом Гаусса, получим , где и произвольные числа не равные нулю одновременно.
Аналогично находим, что при любом есть собственный вектор матрицы с собственным значением .