Уравнение (4) называется сопряженным для уравнения (1).

Теорема. Пусть - решение (1), а матрица непрерывна на , тогда - существует на и является решением системы (4).

Доказательство: По предположению теоремы решение на существует и определитель этого решения не равен нулю в любой точке , следовательно, существует обратная матрица . А так как , то продифференцировав это соотношение, получаем: ,

где - решение уравнения (1), следовательно, g

Рассмотрим систему - линейно независимых неоднородных дифференциальных уравнений

. (5)

Будем искать решение этой системы методом вариации постоянной.

Обозначим - решение (1). Будем искать решение системы (5) в виде:

, (6)

где - неизвестная вектор-функция.

Подставим (6) в (5):

Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид:

(7)

Теорема. Общее решение неоднородной системы (5) можно представить в виде: , (8)

где - общее решение соответствующей однородной системы.

Замечание. Пусть матрица постоянна и начальные условия имеют вид: (9)

Покажем, что решение уравнения (9) - удовлетворяет функциональному уравнению:

. (10)

При любом фиксированном матрицы и будут решением (9). При эти матрицы будут совпадать в силу начальных условий и, следовательно, по теореме о существовании и единственности они будут совпадать для любых . Если воспользоваться (10), то можно записать (сделав замену , и умножив соотношение (10) справа на ):

. (11)

Сравнив (11) и (7), сделаем вывод о том, что общее решение неоднородной системы ДУ с постоянной матрицей А может быть представлено в виде:

. (12)