При какой годовой ставке сложного процента деньги удваиваются через 12 лет?

Решение:

S_n = P(1+i)ⁿ

2 = 1 (1+i)¹²

(1+i)¹² =2

Прологарифмируем полученное выражение:

12 lg (1+i) = lg2; lg2 = 0,3

12 lg (1+i) = 0,3

lg (1+i) = 0,0025; (1+i) = 1, 06; i = 0,06 (6%)

Можно было не делать таких сложных расчетов. В учебниках по банковскому делу и ценным бумагам прилагаются таблицы, в которых показывается будущая стоимость единицы при определенной годовой ставке через определенный период времени.

Единица удваивается через 12 лет при 6% годовых.

4. Какая сумма при выплате через 3 года эквивалентна 10 тыс. рублей, выпла­чиваемых через 10 лет от настоящего момента, если норма процента равна 5% в год?

Решение:

Эквивалентная процентная ставка:

j = (1+ i)^m/n -1 =(1+ 0,05)^10/3 -1;

(1+ i)^m = (1+ j)ⁿ = (1 + 0,05)¹⁰

(1+ j)ⁿ = (1 + 0,05)¹⁰ = 1,6289

отсюда:

(1+ i)³ =1,6289; (1+ i) = 1,1768; i = 0,1768 ≈ 17,7%

По ставке сложного процента:

при n = 3 и 5 %

Будущая стоимость единицы: 1,1576

S_n = P(1+i)ⁿ

Р = 10000/1,6289 = 6139,11 руб.

тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 руб.

5. Какие ежеквартальные взносы необходимо делать в банк, начисляющий 1,5% в квартал, чтобы за 5 лет скопить 500 тыс. рублей?

Решение:

Полагающийся аннуитет:

500 000 = R *[(1+0,015 )^4*5 -1] /0,015 * (1 + 0,015);

(1,34685-1)/0,015* 1,015 = 23,47044;

Отсюда: R = 500000/ 23,47044= 21303,4 руб.

6. Иванов вносит в сберегательный банк 500 рублей в конце каждого квартала. В конце каждого года банк начисляет 4% сложных процентов. Какая сумма будет на счете Иванова через 5 лет?

Решение:

По формуле обыкновенного общего аннуитета:

S = 500 * ((1+0,04)^5*1 -1)/ ((1+ 0,04)^1/4 -1 ) = 500* 0,2167/0,00985 = 11 000 руб.

7. Какую сумму денег нужно иметь на счете, чтобы обеспечить вечную ренту в размере 1500 рублей в месяц, если банк начисляет 3% в квартал?

Решение:

Вечная рента – это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного времени

эквивалентная процентная ставка равна:

j =(1+i)^m/p -1 = (1+ 0,03)^4/12 -1= 1,0108 -1 = 0,0108

m=4; p =12

А =R/j = 1500/0,0108 = 138888,88 руб.

8. Облигация на 100 тыс. рублей, по которой выплачивается 5% годовых, бу­дет выкупаться через 15 лет по номинальной стоимости. За какую цену ее следует купить, чтобы обеспечить покупателю норму доходности 3% годовых?

Решение:

Доход по облигации представляет собой поток периодических платежей в конце каждого года (простой аннуитет) и разовую выплату в конце всего срока действия облигации.

С=N = 100000 руб.,

Ежегодные выплаты: R = 5000 руб., i =0,03

Цена покупки:

Р = 5000* [ 1-(1+0,03)^-15]/0,03 + 100000 (1+0,03)^-15 = 5000 *(1-1/1,5580)/0,03 + 100000(1/1,03¹⁵) = 5000 * 11,9384 + 100000*0,64185 = 123877 руб.

9. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

Решение:

Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)³ = 32032 рубля.

Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

10. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей, положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14% годовых?

Преобразуем формулу к следующему виду:

(1 + r)ⁿ = FV / PV и подставим значения;

1,14ⁿ = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log _1,14 20 = 22,86 года.

Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.

При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.