Замечания.

1) Условие теоремы 2.1, как достаточное, предъявляет завышенные требования к матрице , и поэтому иногда сходимость будет, если даже .

2) Сходящийся процесс обладает свойством самоисправляемости, то есть отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать как новое начальное.

3) Условия сходимости выполняются, если в матрице преобладают диагональные элементы, то есть

, , (2.5)

и хотя бы для одного неравенство строгое. Иначе, модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении системы больше суммы модулей недиагональных коэффициентов (свободные члены не рассматриваются).

4) Чем меньше величина нормы , тем быстрее сходимость метода.

5) Из неравенства (2.3) еще до начала расчета можно получить число итераций , требуемых для достижения заданной точности:

, (2.6)

где норма вектора определяется следующим образом: или .

Преобразование системы к виду с матрицей , удовлетворяющей условиям сходимости, может быть выполнено несколькими способами. Приведем способы, используемые наиболее часто.

1. Уравнения, входящие в систему , переставляются так, чтобы выполнялось условие (2.5) преобладания диагональных элементов. Затем первое уравнение разрешается относительно , второе – относительно и т.д. При этом получается матрица с нулевыми диагональными элементами.

Пример 1.Система

с помощью перестановки уравнений приводится к виду

где , , , то есть диагональные элементы преобладают.

Выражая из первого уравнения, – из второго, – из третьего, получим систему

где , .

Заметим, что , то есть условие теоремы 2.1. выполнено.

2. Уравнения преобразуются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов, но при этом коэффициенты не обязательно равнялись нулю.

Пример 2. Систему

можно записать в форме

для которой .

Пример 3. Методом простых итераций с точностью решить систему линейных алгебраических уравнений

Предварительно определить число итераций.

Решение.

Так как , , , условие (2.5) не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов:

Получим , , . Выразим из первого уравнения , из второго , из третьего :

, .

Заметим, что ,

,

следовательно, условие сходимости выполнено.

По формуле (2.6) вычислим число итераций, обеспечивающих заданную точность:

; .

Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить не менее пяти итераций.

Зададим . В поставленной задаче .

Выполним расчеты по формуле (2.2):

, ,

или

Результаты вычислений оформим в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1

	1,2000	1,3000	1,4000	-
	0,9300	0,9200	0,9000	0,5
	1,0180	1,0240	1,0300	0,13
	0,9946	0,9934	0,9916	0,0384
	1,0015	1,0020	1,0024	0,0108
	0,9996	0,9995	0,9993	0,0027<

Таким образом, приближенное решение задачи:

.

Очевидно, точное решение: .