Б) Построить математическую модель задачи.

1.Предприятие выпускает три вида изделий. Месячная программа выпуска составляет 200 изделий первого вида, 1800 – второго, 1500 – третьего. Для выпуска изделий используют материалы, ежемесячные затраты которых не могут превышать 61000 кг. На одно изделие 1-го вида расходуется 8 кг материала, 2-го – 10 кг, 3-го – 11 кг. Оптовая цена одного изделия первого вида 7 грн., второго и третьего – соответственно 10 грн. и 9 грн. Определить оптимальный план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

2. Мебельная фабрика изготовляет столы, стулья, бюро и книжные шкафы, используя два различных вида досок, причем фабрика имеет 500 м досок первого вида и 1000 м досок второго. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количества 800 чел./час. В таблице приведены нормативы затрат каждого вида ресурсов на изготовление одного изделия и доход на одно изделие.

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход.

3. Для перевозки груза используют машины типов А и Б. Грузоподъемность машин каждого типа 3 т. За один раз машина расходует 1,5 кг смазочных материалов и 50 л бензина. Затраты на эксплуатацию машины А составляют 80 грн., Б – 50 грн. Необходимо перевести 60 т груза. Сколько нужно использовать машин типов А и Б, чтобы эксплуатационные затраты были минимальные?

4.На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов, для которых заготавливают три вида кормов. Количество корма каждого вида, который должны ежедневно получать звери, общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано фермой, и доход от реализации одной шкурки лисицы и песца представленные в таблице:

Определить сколько лисиц и песцов необходимо вырастить на ферме, чтобы доход от реализации их шкурок был максимальный.

5. Для перевозки груза на трех направлениях могут быть использовании корабли трех типов. Грузоподъемность кораблей при использовании их на различных направлениях характеризуется числами, приведенными в таблице. В ней указывается также общее время эксплуатации и минимально необходимые объемы перевозки на каждом из направлений. Определить какой корабль, на каком направлении и на протяжении какого времени необходимо использовать, чтобы обеспечивать максимальную загрузку кораблей с учетом возможного времени их эксплуатации.

6. На трех группах оборудования необходимо изготовить изделия четырех видов. Установлен план производства: изделий типа А – 2000 шт., Б – 1000 шт., В – 200 шт., Г – 250 шт. Данные о себестоимости каждого изделия, трудоемкости и фон рабочего времени заданы в таблице.

Составить план загрузки оборудования, при котором минимизируются себестоимость изготовленных изделий.

7. Распределить четыре сорта топлива, которое имеется в количествах 70, 40, 50, 40 т соответственно каждого сорта, между пятью агрегатами, потребности которых составляют 20, 40, 50, 60 и 40 т соответственно. Задана матрица теплообразовательной способности: , где С_ij –теплообразовательная способность і-го сорта топлива при использовании его в j-му агрегате. Найти оптимальное распределение топлива между агрегатами, при котором будет получено максимальное количество теплоты от всего запаса топлива.

8. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова – не меньше 15%, сурьмы – не меньше 15%, свинца – около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

9. На трех складах оптовой базы находится однородный груз в количествах 200, 80 и 100 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина, каждый из которых получает соответственно 130, 50, 70, 90 ед. груза. Тарифы перевозки единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей: . Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

10. Собранный урожай зерна трех сельскохозяйственных артелей должен быть перевезен на три элеватора, элеватора А₁ мощностью 100 тыс.т, элеватор А₂ мощностью 80 тыс.т и элеватор А₃ мощностью 90 тыс.т. Известные транспортные затраты C_ij перевозки 1 т зерна от каждой артели к каждому элеватору, а также запасе зерна артелей, которые приведены в таблице:

Определить план перевозки зерна на элеваторы, минимизирующий транспортные затраты.

11. При производстве продукции Р₁и Р₂используют 4 группы оборудования А, В, С и D. На выпуск единицы продукции Р₁расходуется в единицу времени 1; 0,5; 2 и 0 ед. оборудования А, В, С и D соответ­ственно, а единицы продукции Р₂– 1; 1; 0 и 2 ед. оборудования А, В, С и D. Фонд рабочего времени группы А составляет 18, В –12, С – 24 и D –18 ед. времени. Предприятие реализует единицу продукции Р₁по цене 40 ден.единиц, Р₂ – 60 ден.единиц. Найти план выпуска про­дукции, при котором выручка предприятия будет максимальной.

12.Для кондитерской фабрики требуется рассчитать оптимальный по прибыли план выпуска карамели. Весь ассортимент карамели раз­делен на три однородные группы, условно обозначенные K₁, K₂и К₃. Для производства карамели требуется сахарный песок, патока, фруктовое пюре. В таблице указаны запасы этих видов сырья в тоннах; прибыль на единицу каждого вида выпускаемой карамели в ден.ед. за 1 тонну; нормы расхода сырья на производство единицы каж­дого вида.

Другие виды сырья, входящие в готовый продукт в небольших количествах, не учитываются. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

13. В опытном хозяйстве установили, что откорм животных выгоден тогда, когда животное будет получать в дневном рационе не менее 6 ед. питательного вещества А, не менее 12 ед. вещества В и не менее 4 ед. вещества С. Для кормления животных используется два вида корма. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержит 1 кг корма каждого вида.

Цена 1 кг корма вида I равна 50 ден.ед., корма вида II – 60 ден.ед. Сколько корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затра­ты на него были минимальными?

14. С вокзала можно отправлять ежедневно скорые и курьерские поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов указаны в таблице:

Составить математическую модель и выбрать такое соотношение между числом скорых и курьерских поездов, чтобы число пассажиров, которых можно отправить ежедневно, достигло максимума.

15.В овощной магазин привозят одним видом транспорта картофель из трех колхозов соответственно 40, 30 и 10 ден. ед. за 1 кг. На разгрузку и складирование 1 т. картофеля с помощью ленточного транспортера требуется времени: из первого колхоза – 1 мин., из второго – 4 мин., из третьего – 3 мин. (разное время разгрузки объясняется различием затоваривания картофелем). Чтобы без задержки удовлетворять потребность покупателей, нужно на разгрузку 12 тонн картофеля, заказываемых ежедневно магазином, затрачивать не более 40 мин. Из­вестно, что первый колхоз может ежедневно поставлять не более 10 т, второй – не более 8 т, третий – не более 6 т картофеля. Сколько картофеля надо привозить в магазин из каждого колхоза, чтобы общая стоимость картофеля была минимальной?

16.Бригада приняла заказ на изготовление 50 ед. продукции P₁,30 ед. продукции Р₂и 45 ед. продукции Р₃. Продукция производится на станках А и В. Для изготовления на станке А единицы продукции Р₁требуется 4 ед. времени, единицы продукции Р₂ – 40 ед., единицы продукции Р₃–10 ед., на станке В – соответственно 6, 8 и 20 ед. времени. Необходимо найти план использования оборудования, т.е. указать, сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен в минимальное время.

17. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 ден.ед., жиров не менее 70 и витаминов не менее 10 ден.ед. Содержание их в продуктах Р₁и Р₂равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1). Стоимость 1 ед. продукта Р₁– 2 ден.ед., Р₂– 3 ден. ед. Требуется так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

18. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников. Каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй – 75. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, второй модели – 8. Наибольший суточный запас используемых элементов равен 800 ед. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй мо­делей соответственно 3000 и 2000 ден.ед. Определить оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей.

19. Процесс изготовления промышленных изделий двух видов X₁и Х₂состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 часами в сутки. Время обработки одного изделия (в мин.) и прибыль от продажи одного изделия каждого вида указана в таблице:

Найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида, максимизирующие прибыль.

20.Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионные сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены 100000 ден.ед. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 500 ден.ед., а каждая минута телерекламы – в 10000 ден.ед. Фирма хотела бы использовать радиосеть по край­ней мере в 2 раза чаше, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение финансовых средств, ежеме­сячно отпускаемых на радио- и телерекламу.

21. В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фа­нерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м³ коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м³ еловых и 7,5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м² фанеры требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Согласно ус­ловиям поставок в течение планируемого периода необходимо про­извести, по крайней мере, 10 м³ пиломатериалов и 1200 м³фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составляет 1600 ден.ед., а со 100 м² фане­ры– 6000 ден.ед. Определить оптимальный план производства пило­материалов и фанеры.

22. Предприятие производит продукцию двух видов Р₁и Р₂. Для изготовления продукции Р₁ и Р₂ используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расход сырья на единицу продукции Р₁равен 2 кг, а на единицу про­дукции Р₂ –4 кг. Цены продукции Р₁и Р₂– 20 и 40 ден.ед. соответ­ственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготов­ления продукции Р₁ и Р₂, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

23. Фирма выпускает шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготов­ления шляпы первого фасона вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы второго фасона. Если бы фирма выпускала только шляпы пер­вого фасона, то суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен – 200 штук. Прибыль от продажи шляпы первого фасона равна 80 ден.ед., второго – 50 ден.ед. Определить оптимальный план выпуска шляп, максимизирующий прибыль.

24. Имеются корма двух видов: сено и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве соответственно не более 50 и 85 кг. Составить кормовой рацион минимальной стоимости, в котором содержится не менее 30 кормовых единиц, не менее 1 кг протеина, не менее 100 г кальция, не менее 80 г фосфора. Данные о питательности кормов и их стоимости в расчете на 1 кг приведены в таблице.

25. Предприятие может выпускать продукцию двух видов: Р₁ и Р_г Используются три вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормы расхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представлены в таблице:

Найти оптимальный план выпуска продукции.

26. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 300 тыс. ден. ед. Его предполагается разместить на площади 45 м². Участок может быть оснащен оборудованием трех видов: 1) машинами стоимостью 6 тыс. ден. ед. (здесь и далее все пока­затели приводятся на единицу оборудования), размещающимися на площади 9 м², производительностью 8 тыс. ед. продукции за смену; 2) машинами стоимостью 3 тыс. ден.ед., занимающими площадь 4 м², производительностью 4 тыс. единиц продукции за смену; 3) машинами стоимостью 2 тыс. ден. ед., занимающими площадь 3 м², производительностью 3 тыс. ден. ед. продукции. Построить модель задачи определения плана приобретения оборудования, обеспечивающего наибольшую производительность всего участка.

27. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей N₁ или 1200 деталей N₂. Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на термообработку в тот же день, позволяет обработать за смену 1200 деталей N₁ или 800 деталей N₂. Цены на детали одинаковые. Определить производственную программу выпуска деталей, максимизирующую товарную продукцию предприятия при условии, что оба цеха работают одну смену.

28. Предприятие может работать по пяти технологическим процессам T₁, T₂, T₃, T₄ и Т₅ причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно 300, 260, 320, 400 и 450шт. В процессе производства учитываются следующие производственные факторы: сырье, электроэнергия, зарплата и накладные расходы. Затраты соответствующих факторов при работе по разным технологиям в течение 1 ед. времени указаны в таблице. Найти программу максимального выпуска продукции.

29. На пяти станках различных типов можно выполнять пять операций по обработке деталей. При этом, в силу технологии производства за каждым из станков может быть закрепленная только одна операция и одна операция может выполняться только одним станком. Зная время выполнения каждой из операций на каждом из станков, которое задается матрицей

.

Нужно распределить выполнения операций между станками так, чтобы суммарное время на обработку деталей было минимальным.

30. Для изготовления сплава из свинца, цинка, олова определенного состава используется сырье в виде пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью 1 кг:

Какое количество сплава каждого вида нужно взять, чтобы изготовить при минимальной себестоимости сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50% олова?