При рассмотрении вопроса остановимся подробней на понятии и природе эластичности.
Для исследования влияния изменения одной величины на другую применяют термин эластичность. Пусть величина у зависит от х, и эта зависимость описывается функцией у = f(x). Изменение независимой переменной х (∆х) приводит в силу функциональной зависимости к изменению переменной у (∆у). Задача анализа зависимостей – это вычисление того, как изменяется зависимая переменная, вследствие изменения аргумента.
Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой является производная. Производная определяется как предел отношения абсолютных приращений переменных и характеризует скорость изменения функции у с изменением аргумента х.
, (1)
Если ∆Р – это изменение цены (аргумента – х), ∆Q – это изменение количества продаваемой продукции (зависимой переменной – у), то производная покажет, на сколько единиц изменится объем продукции в расчете на единичное изменение цены в бесконечно малой окрестности исходного значения.
, (2)
Графически этому соответствует наклон касательной к кривой спроса или предложения (в качестве примера взята кривая спроса) по отношению к оси у (цен), рис. 2.
Однако в экономике, этот показатель неудобен, так как он зависит от выбора единиц измерения, то есть он характеризует в определенной степени масштаб. Например рассмотрим функцию спроса на какой-то товар А (Q) от его цены (Р), значение производной при каждой цене Р, измеряемой в рублях зависит от того, в каких единицах измеряется спрос на товар А, допустим, в килограммах или тоннах. В первом случае производная измеряется в кг/руб., во втором – в т/руб., соответственно ее значения при одном и том же значении цены будет различным в зависимости от единиц измерения величины спроса, то же самое произойдет, если мы будем использовать разные единицы измерения цены (доллары США и белорусские рубли). Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента для анализа используют и изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у (∆х и ∆у), а их относительных или процентных изменений.
Анализ относительных изменений позволяет судить о многих экономических явлениях с большей степенью достоверности, чем анализ абсолютных изменений. Поэтому наряду с производными при анализе различных зависимостей используют показатели эластичности. Для облегчения дальнейшего рассмотрения, введем обозначения для относительных приращений:
(3)
Таким образом, эластичностью переменной у по переменной х называется предел
, (4)
или, используя показатели цены и объема продукции,
(5)
(6)
Относительные отклонения имеют смысл лишь для величин, которые могут принимать только положительные значения, это относится и к показателям эластичности. Поэтому дальше будем полагать х > 0, у > 0 (цена и количество продукции всегда положительны). При этом случаи х = 0 или у = 0 могут рассматриваться только как предельные, гипотетически допустимые.
Так как условие предельного перехода δх → 0 равносильно условию ∆х → 0, равенство (4) и (6) могут быть представлены следующим образом:
а с учетом определения производной (1) получаем:
(7)
Поскольку х и у положительны, знак эластичности всегда совпадает со знаком производной.
Рассмотрим теперь эластичность для функций, которые наиболее часто используются в различных экономических моделях:
Линейная функция:
у = а + bx, (8)
имеет постоянную производную, но ее эластичность при а ≠ 0 изменяется с изменением х.
Для линейной функции:
1. если а > 0, b > 0, то с изменением х от 0 до + ∞ эластичность возрастает от 0 до + 1, рис. 3а;
2. если а < 0, b > 0, то с изменением х от –а/b до + ∞ эластичность убывает от + ∞ до +1, рис. 3б;
3. если а > 0, b < 0, то с изменением х от 0 до –а/b эластичность убывает от 0 до -∞; в середине этого отрезка E x(y) = – 1, рис.3в.
Степенная функция, рис.3:
Функции с несколькими переменными:
§ линейные функции:
у = f(х1,х2, …,хn). (9)
Под частной эластичностью функции по одному из аргументов хк понимается эластичность переменной у, рассматриваемой в зависимости только от хк, при постоянных значениях остальных аргументов. Она связана с частной производной по этому аргументу соотношением
(10)
§ степенная функция:
у = АхВ, (11)
ее производная равна
, (12)
а эластичность
(13)
при любых значениях х, иными словами, эластичность степенной функции постоянна и совпадает с показателем степени, и изменяется пропорционально х.
§ степенная функция нескольких переменных с постоянными частными эластичностями:
у = Ах1В1 х2В2 ,…,хnВn . (14)
Эластичность является безмерной величиной, которая связана с единицами и масштабами рассматриваемых величин. Эластичность и производная не связаны друг с другом однозначно, хотя и совпадают по знаку в тех случаях, когда стремятся к нулю (когда реакция спроса на изменение цены отсутствует) или к бесконечности (когда потребитель «бесконечно сильно» реагирует на ничтожно малое изменение цены).
Часто путают концепции наклона и эластичности, полагая, что чем меньше крутизна кривой спроса, тем выше эластичность, и наоборот, чем круче кривая спроса, тем ниже эластичность. Эти предположения совершенно ошибочны, и их ошибочность вытекает из определения самих терминов. Например, наклон кривой спроса в целом зависит от абсолютного изменения цены при абсолютном изменении величины спроса, а наклон в каждой точке кривой равен отношению δQ/δP (7). Таким образом, эластичность есть величина, равная произведению наклона кривой спроса (dQ/dP) на отношению цены к объему спроса, то есть эта мера процентных изменений цены и количества продукции. Следовательно, наклон кривой спроса зависит от абсолютных изменений P и Q, а эластичность спроса по цене относится к относительным изменениям P и Q. Только в очень редких случаях может быть достигнуто арифметическое совпадение значения наклона кривой спроса и эластичности спроса по цене. Более того, в случае линейной понижающейся кривой спроса, наклон есть величина постоянная, тогда как эластичность по цене изменяется от точки к точке кривой в соответствии со значениями P/Q.
Рассмотрим виды эластичности, наиболее часто применяемые при проведении экономического анализа.
Существует два основных метода расчета эластичности:
в точке: точечная эластичность(прямая эластичность) показывает чувствительность объема спроса или предложения к изменению цены в данной точке кривой спроса или предложения, она была рассмотрена выше. Формула точечной эластичности будет иметь следующий вид:
(15)
по дуге: дуговая эластичностьпоказывает чувствительность спроса или предложения между двумя точками кривой (спроса или предложения);
(16)
В зависимости от объекта изучения выделяют эластичность спроса и эластичность предложения. Эластичность спросапредставляет собой меру чувствительности величины спроса к изменениям какой-либо из детерминант спроса.
(17)
Различают следующие виды эластичности спроса:
· эластичность спроса по цене;
· эластичность спроса по доходу;
· перекрестная эластичность спроса.
Эластичность спроса по ценепоказывает, насколько изменится объем спроса на товар при изменении цены на этот товар.
(18)
Коэффициент эластичности спроса по цене всегда отрицательный, так как существует обратная связь между объемом спроса и ценой.
Существуют два метода вычисления эластичности спроса по цене ( ), как уже указывалось выше, в точке и по дуге.
Точечная эластичность отражает чувствительность величины спроса к очень малому изменению цены в данной точке. Алгебраически эластичность в точке представляется следующей формулой:
. (19)
Данное выражение показывает, что эластичность в точке равна отношению изменения величины спроса к изменению цены, умноженному на отношение цены к величине спроса в данной точке. При стремлении изменения цены к нулю, отношение ∆Q/∆Р становится эквивалентным производной функции спроса по цене, или выражению (2)
,
отсюда формула эластичности в точке приобретает вид (выражение (7)):
Следовательно, эластичность спроса по цене – это предел отношения относительного приращения объема δQ=∆Q/Q к относительному приращению цены δP=∆P/P при условии, что последнее стремится к нулю.
Пример:
Допустим, что функция спроса на товар задана уравнением:
Какова будет эластичность спроса по цене при цене равной 10 рублей?
Решение:
Для вычисления необходимо знать Р, Q и ∆Q/∆Р (dQ/dP).
При цене Р = 10 рублей,
Степень изменения Q при изменении Р равна dQ/dP и находится путем вычисления первой производной функции спроса:
Теперь можно подставить значения в формулу
Значение –0,167 величины говорит о том, что, если цена товара изменится на незначительную величину, допустим на 1% против первоначальной цены (Р=10 рублей), то величина спроса изменится в противоположном направлении, примерно, на 0,167%.
Дуговая эластичность характеризует меру чувствительности величины спроса между двумя точками кривой спроса:
(20)
Для иллюстрации техники вычисления эластичности спроса по цене, рассмотрим кривую спроса, на которой имеются две точки А и Б со следующими комбинациями цены – количества:
Таблица 1.1.
Точки
Цена, рублей
Величина спроса, штук
А
Б
Определим степень чувствительности величины спроса к снижению цены с 12 до 10 рублей, что эквивалентно движению по кривой из точки А в точку Б, рис. 4.
Обычным способом вычисления процентного изменения является определение приращения величины относительно ее первоначального значения (обозначаемого индексом 1) и умножение этого приращения на 100, чтобы выразить его в процентах. Тогда в алгебраической форме эластичность по цене:
Если же вычислить чувствительность величины спроса к увеличению цены с 10 до 12 рублей, это равносильно движению вверх по кривой от точки Б к А, коэффициент эластичности спроса по цене будет равен:
Разница между двумя коэффициентами эластичности возникает потому, что при движении от А к Б происходит совсем не те изменения, что при движении от Б к А. При вычислении процентного отношения, изменение базовых величин от P1,Q1 к P2,Q2 дает две разные меры ценовой чувствительности одного и того же интервала кривой спроса. Разница эта объясняется важностью базы при исчислении процентных изменений.
Неопределенность в выборе правильной базы для вычисления была частично преодолена путем использования в качестве базы среднего значения изменения количества Q для двух точек и среднего значения изменения цены Р для двух точек. С учетом этого, видоизменяется формула (20).
(21)
При использовании этой формулы безразлично, какая точка считается начальной.
Однако значение эластичности, рассчитанное данным методом, является менее точным, чем точечная эластичность.
В нормальных условиях с увеличением цены Q уменьшается, поэтому можно считать, что эластичность спроса по цене всегда отрицательна, и, следовательно, при анализе спроса знак эластичности не представляет интереса. Для измерения величины реакции спроса на изменение цены удобнее использовать абсолютную цену эластичности .
В зависимости от принимаемых значений ЕD/Pспрос бывает:
1. эластичным, если процентное изменение цены ведет к большему процентному изменению величины спроса
│ЕD/P │> 1;
2. неэластичным, если процентное изменение объема спроса меньше процентного изменения цены
, (1)
, (2)
(3)
, (4)
(5)
(6)
(7)
(10)
, (12)
(13)
(15)
(16)
(17)
(18)
), как уже указывалось выше, в точке и по дуге.
. (19)
,
(20)
(21)
.