Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение задачи Коши

Задание № 3

«Решение дифференциальных уравнений»

Цель работы

Получить навыки решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в среде MathCad.

Введение

Задачи, относящиеся к анализу динамических систем и их математическому моделированию базируются на решении дифференциальных уравнений, как правило не имеющих аналитического решения.

Начиная с версии 5.0 в Mathcad была введена возможность решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в численном виде.

Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность их решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что и позволяет Mathcad.

Все варианты этого задания имеют одинаковую трудоемкость. Задания предназначены для изучения основ численных методов решения дифференциальных уравнений в среде MathCad.

1 Решить уравнение, заданное в таблице 1

2 Уравнение, заданное в таблице 2, необходимо решить:

2.1 сиспользованием функций rkfixed, rkadapt,

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение задачи Коши

Для решениядифференциальных уравнений первого порядка имеется встроенная функцияrkfixed(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге — Кутты четвертого порядка точности системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

y- вектор с начальными условиями ,

х1 , х2 интервал изменения аргумента х

п - число шагов,

F(x,y) – вектор-функция производных.

Пусть задано уравнение:

x € [1;5] начальное условие х(1)=0

Решим уравнение:

- Сделаем замену переменных: заменить искомую переменную Y вектором Y₀.

тогда:

Первый столбец матрицы Z содержит переменную х, второй – у.

На графике зелеными кружочками построено точное решение данного примера .