Список утверждений к тесту TS-MA-6 по теме

«Первообразная функция и неопределенный интеграл»

Утверждение 1.(Теорема об общем виде первообразной, ее геометрический смысл)

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

Геометрическая иллюстрация этого факта приведена на рисунке.

Утверждение 2.(Существование первообразной для непрерывной на функции)

Всякая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную. Непрерывность функции на промежутке является достаточным, но не необходимым условием.

Утверждение 3.(Существование разрывных функций, имеющих первообразную)

Если функция разрывна, то эта функция имеет первообразную на любом множестве , который содержится на промежутках ее непрерывности.

Утверждение 4.(Отсутствие первообразной для функции, имеющей разрыв в виде скачка)

Если функция имеет разрыв первого рода в виде скачка, то эта функция не имеет первообразную.

Утверждение 5.(Свойства неопределенного интеграла)

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: и

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Свойства линейности неопределенного интеграла

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

, где константа

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Утверждение 6.(Таблица основных неопределенных интегралов)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

Утверждение 7.(Непосредственное интегрирование)

Непосредственное интегрирование – вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств (свойств линейности) неопределенных интегралов.

Утверждение 8.(Поднесение под знак дифференциала)

Метод поднесения под знак дифференциала состоит в том, что мы изменяем подынтегральное выражение, чтобы получить табличный интеграл не относительно переменной , а относительно некоторой функции .

Утверждение 9.(Метод замены переменной)

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называют методом замены переменной. В его основе лежит следующая теорема.

Теорема. Пусть функция непрерывна и интегрируема и если существует такая непрерывная дифференцируемая функция , что и для функции мы знаем первообразную, то интеграл , где .

Утверждение 10.(Интегрирование по частям)

Интегрирование по частям позволяет решить вопрос выражения и сведение этого выражения к выражению .

Теорема. Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула или, что тоже самое

Три группы интегралов, берущихся по частям, то есть вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , (P_n(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P_n(x), а и применить формулу n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по формуле , принимая , а

III. Интегралы вида , , где ( -числа), , , , . Они вычисляются двукратным интегрированием по частям, где , а .

Утверждение 11.(Рекуррентная формула для вычисления неопределенного интеграла)

Интегралы вида , , где ( -числа), , , , выражаются сами через себя, поэтому для их вычисления применяется рекуррентная формула.

Утверждение 12.(Интегрирование рациональных дробей)

Метод неопределенных коэффициентов.

Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Q_m(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе к многочлену P_n(x).

Метод частных значений.

При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Правила интегрирования рациональных дробей.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1. Если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная (k≥m), то ее нужно представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби: где n < m; R(x) – многочлен;

2. Если рассматриваемая рациональная дробь - правильная (n < m), то ее нужно представить в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле ;

3. Интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы

Утверждение 13.(Метод Остроградского)

Метод Остроградского заключается в использовании формулы

. Метод Остроградского особенно эффективен, когда корни в основном являются кратными или когда вызывает затруднение нахождение корней .

Утверждение 14.(Рационализация неопределенных интегралов от дробно-линейных иррациональностей)

Интеграл от дробно-линейной рациональности , где и рационализируется с помощью подстановки .

Утверждение 15.(Рационализация неопределенных интегралов от квадратичных иррациональностей)

Подстановки Эйлера.

Первая подстановка Эйлера. Если , то для вычисления интеграла вида следует сделать замену .

Вторая подстановка Эйлера. Если , то для вычисления интеграла вида следует сделать замену .

Третья подстановка Эйлера. Если , то для вычисления интеграла вида следует сделать замену .

Утверждение 16.(Интегрирование биноминальных дифференциалов)

1. Если , то для вычисления интеграла вида необходимо выражение раскрыть по формуле Бинома Ньютона, если - отрицательное число, то следует сделать замену , где - это наименьший общий знаменатель дробей и .

2. Если , то для вычисления интеграла вида следует сделать замену , где - знаменатель дроби .

3. Если , то для вычисления интеграла вида следует сделать замену , где - знаменатель дроби .

Утверждение 17.(Интегрирование выражений вида )

Для вычисления интеграла вида существует общая универсальная подстановка вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке .

1. Интеграл вида вычисляется с помощью подстановки .

2. Интеграл вида вычисляется с помощью подстановки .

3. Интеграл вида вычисляется с помощью подстановки .

Утверждение 18.(Интегрирование выражений вида )

Для вычисления интеграла вида следует сделать следующую замену .

Утверждение 19.(Теоремы Эйлера)

Интеграл от квадратичной иррациональности всегда есть функция элементарная, причем интеграл от квадратичной иррациональности всегда рационализируется при помощи первой и третьей подстановки Эйлера.

Утверждение 20.(Теорема Чебышева)

Интеграл от биномиального дифференциала рационализируется, то есть вычисляется в элементарных функциях тогда, когда выполнено одно из соотношений:

3. .

Причем если не выполняется ни одно из этих условий, то это означает, что интеграл от биномиального дифференциала не выражается в элементарных функциях.

Утверждение 21.(Достаточность трех подстановок для интегрирования выражений вида )

Любой интеграл вида можно привести к виду, который будет рационализироваться при помощи трех подстановок: , , .

Утверждение 22.(Специальные приемы интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции)

Интегралы вида вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

При

Утверждение 23.(Приведение эллиптических интегралов к канонической форме)

Каждый интеграл типа может быть представлен в канонической форме , где есть некоторая положительная правильная дробь: .