Дискретное преобразование Фурье

Дискретизированный сигнал можно рассматривать как результат умножения первоначального непрерывного сигнала на ряд единичных импульсов (d-функций).

, (1)

- общее число отсчетов;

- отсчет, т. е. значение при .

При таком рассмотрении площадь отсчета равна значению При этом существенно упрощается нахождение спектральной плотности дискретного сигнала непосредственно по совокупности отсчетов . Действительно, применив преобразование Фурье к (1), получим:

или

(2)

Спектр дискретизированного сигнала есть периодическая последовательность спектров исходного непрерывного сигнала , сдвинутых относительно друг друга на При выборе интервала дискретизации, согласно теореме Котельникова , наложения спектров этой периодической последовательности не происходит.

Для цифровой обработки сигналов требуется дискретизация не только во временной, но и в частотной области в основном интервале

(либо ).

Полагая в (2) , где , получим:

(3)

Здесь (либо ) (=0 может не быть, если -четное). Выражение (3) называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Дискретизация спектра с интервалом приводит к периодическому повторению сигнала с периодом . Для обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) можно записать:

(4) либо .

Верность выражения (4) доказывается непосредственной подстановкой в него из (3) с заменой индекса суммирования k на m, сменой порядка суммирования и учетом того, что сумма равна приk = m и равна нулю при k ¹ m как сумма векторов, которые делят окружность единичного вектора на равные дуги

Обычно DT выбирают меньше, чем , увеличивая число отсчетов . При этом крайние значения вблизи близки к нулю, что облегчает выделение фильтрами основного интервала . Длительность импульсов должна быть много меньше, чем , чтобы получилась полная периодичность спектра с периодом Площадь импульса должна быть пропорциональна отсчету.

Отметим, что выражение (3) ДПФ при значениях вне основного интервала дает периодическое повторение дискретного спектра, а выражение (4) ОДПФ за пределами временного интервала исходного импульса дает его периодическое продолжение. Аппарат дискретного преобразования Фурье широко используется в математическом моделировании и численном математическом преобразовании.

Отметим, что смена знака w в (2) или номера в (3) не изменяет модуль , а изменяет только знак фазы, поэтому в (3) достаточно ограничиться номерами . Равенство (4) тоже можно упростить: , т. к. действительные части у членов с положительным и отрицательным n совпадают, а мнимые имеют противоположный знак.