Спектральный анализ случайных сигналов

Случайную реализацию х(t) можно разложить по детерминированным ортогональным функциям Коэффициенты такого разложения с_n будут случайными величинами. Для гармонического разложения Ввиду случайности спектральной плотности и равенства нулю ее среднего значения при усреднении по всем реализациям при (ввиду случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях) она не используется для характеристики случайного процесса. Поэтому для случайного процесса x(t) вводится понятие спектральной плотности мощности, связанной с автокорреляционной функцией преобразованием Фурье (соотношение Винера - Хинчина).

.

Спектральная плотность мощности определяется из последнего соотношения по функции корреляции определяемой для эргодического процесса в пределах одной реализации:

При нулевом среднем значении имеем:

Чем шире энергетический спектр случайного процесса, тем быстрее меняется x(t) и меньше время корреляции, и наоборот.

Примеры случайных процессов

1. Постоянное напряжение случайного уровня А_к

При равновероятности уровня что соответствует условию Итак, процесс стационарен.

; - процесс не эргодичен.

2. Гармоническое колебание со случайной фазой

, т. к. каждому х_к соответствует два значения ±q_к.

- процесс стационарный и эргодический.

3. Белый шум

Это стационарный процесс с равномерным на всех частотах спектром мощности .

Функция корреляции , т. е. равна нулю всюду, кроме t = 0, где она бесконечна. Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика. Временная реализациях(t) белого шума имеет игольчатую структуру с бесконечно тонкими выбросами обоих знаков. Многие помехи в технике связи, вычтехнике и др. обычно рассматривают как белый шум, если ширина частот помехи превышает полосу частот пропускания аппаратуры, а амплитуды частот примерно постоянны. К таким помехам относят флуктуационные шумы, помехи в многоканальных системах связи и др.