Пусть необходимо разложить рациональную функцию 
( – многочлены степеней 
соответственно), являющуюся правильной рациональной дробью ( 
), на сумму простейших дробей.
Теорема (о разложении правильной рациональной дроби на простейшие дроби).Пусть знаменатель 
правильной дроби (5.1) представлен в виде произведения линейных 
и квадратичных 
множителей ( 
– есть 
-кратный корень уравнения 
, 
).
Тогда рациональную дробь (5.1) можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей:
при этом каждому множителю в разложении знаменателя на множители будет соответствовать сумма -простейших дробей вида
,
а каждому множителю будет соответствовать сумма 
-простейших дробей вида
.
Теорема 5.1 показывает, какой вид будет иметь правильная рациональная дробь в разложении на простейшие дроби. Коэффициенты 
, 
, 
в разложении будем пока считать неопределенными.
Пример. Разложить рациональную функцию
на простейшие дроби (коэффициенты разложения не вычислять).
Решение:Предварительно заметим, что данная функция является правильной рациональной дробью ( 
). Разложим знаменатель = 
на линейные и квадратичные множители. Итак, 
, 
, 
. Таким образом,
= 
.
Тогда рациональную функцию 
можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом
= 
,
где 
– некоторые постоянные ( 
, 
).
