Разряд конденсатора на RL-цепь

1.

;

где – коэффициент затухания;

– собственная частота контура (резонансная)

2.

3.

4.

5. ;

6.

; ;

;

.

Для определения постоянных интегрирования в уравнениях n -го порядка находят начальные значения искомого тока (напряжения) и всех их производных до (n-1) включительно, используя уравнения цепи и начальные значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах, определяемых по законам коммутации.

Т.к. здесь n=2, то необходима первая производная:

; .

Из уравнения цепи:

;

.

Т.о.

;

7. ;

;

.

Характер процессов при разряде конденсатора оказывается существенно различным в зависимости от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными, что определяется соотношениями между параметрами R, L и С.

Случай 1:

, т.е. или .

Оба корня p₁ и p₂ отрицательны, вещественны и отличны друг от друга:

; ; и .

При изменении t от 0 до величины убывают от 1 до 0, причем так как ( т.е. ), то всегда положительно.

Следовательно, ток i не меняет своего направления, и конденсатор все время разряжается.

Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим разрядом.

Ток достигает максимума при , а затем убывает.

Напряжение на емкости монотонно убывает, стремясь к нулю. При расчете использованы условно положительные направления тока и напряжения. Действительные направления показаны на схеме пунктиром и представлены на рисунке (см. выше).

Из уравнения следует, что каждое мгновение:

.

При t = 0 .

При t = t_m .

При t > t_m ток уменьшается, меняет знак.

С энергетической точки зрения при t < t_m катушка индуктивности запасает энергию от конденсатора, а при t > t_m – отдает.

Случай 2:

, т.е. или .

Тогда .

Тогда – неопределенность. Раскрыв по правилу Лопиталя получим:

;

;

.

Процесс – апериодический .

Данный случай при являются предельным случаем апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшении разряд становится колебательным.

Случай 3:

, т.е. или .

Корни комплексно сопряженные:

;

,

где – угловая частота затухающих колебаний.

Тогда ,

где ; ;

; .

Для тока:

;

; ;

; .

Процесс колебательный. Ток и напряжения на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону – затухающие колебания с угловой частотой ; .

При ; ; – формула Томпсона – незатухающие колебания с периодом ; – резонансная (собственная) частота контура. При этом и в цепи устанавливается режим, полностью соответствующий установившемуся процессу в нем при резонансе.

Энергетические процессы:

От 0 до t₁ = t_m – ток возрастает и режим соответствует апериодическому, т.е. L накапливает энергию, R рассеивает, C отдает.

От t₁ до t₂ –

– C отдает;

– L отдает;

– R рассеивает.

От t₂ до t₃ – конденсатор С полностью разрядился, ток, поддерживаемый э.д.с. самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор . Энергия магнитного поля частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в теплоту на сопротивлении R. К времени конденсатор С заряжается максимально. В этот момент i = 0.

В следующую половину периода процессы повторяются, но знаки напряжений и тока поменяются на противоположные. Таким образом, в зависимости от соотношения параметров возможны следующие режимы разряда конденсатора: