Однойиз наиболее распространенных форм математического описания линейных динамических объектов в непараметрической форме является весовая, или импульсная переходная функция g(t). Эта характеристика однозначно описывает динамические свойства объекта.
Рассмотрим линейную динамическую систему с одним входом и выходом. Выход объекта y(t) связан со входом x(t) некоторым оператором А.
Представим x(t) в виде разложения по системе -функций;
X(t)= (82)
Здесь (t - ) - -функция, действующая в момент времени, равный . Поскольку рассматриваемая система линейна, для нее справедлив принцип суперпозиции:
A (83)
Поскольку y(t)=Ax(t), то
y(t)=A (84)
Здесь =g(t, ) – реакция объекта на -функцию, т.е. импульсная переходная функция.
Если сигнал на входе системы появляется, начиная с момента t=0, выражение (71) примет вид
Y(t) = (85)
Дли стационарных объектов интеграл-свертки записывается следующим образом:
Y(t)= (86)
Установим связь между статистическими характеристиками объекта управления. Известно, что взаимная корреляционная функция стационарного случайного процесса определяется по формуле
(87)
Подставим в (74) значение y(t) из (73) :
Rxy( )= (88)
Учитывая, что ,получим:
Ryx( (89)
Т.к. есть автокорреляционная функция входного сигнала R ( ) , то в итоге запишем следующее уравнение:
(90)
Это уравнение называют основным уравнением идентификации [5] или уравнением Винера-Хопфа. При выводе уравнения (77) рассматривались центрированные входные и выходные сигналы, мат.ожидание которых равно нулю. Однако уравнение (77) справедливо и для нецентрированных сигналов x(t) и y(t), т.е. содержащих неслучайную составляющую.
Пусть входной сигнал x(t) представляет собой белый шум. Автокорреляционная функция белого шума является функцией. = , где с –известная постоянная величина, характеризующая спектральную плотность белого шума. Тогда в соответствии со свойствами - функции получим:
= ; (91)
. (92)
Таким образом, взаимная корреляционная функция выходного и входного сигналов объекта в случае, когда входной сигнал является белым шумом, пропорциональна импульсной функции переходной функции объекта.
Рассмотрим влияние помех при измерении сигналов x(t) и y(t) на определение импульсной переходной функции. Вначале будем считать, что с помехой измеряется только входной сигнал
. (93)
Тогда
. (94)
Умножив (81) на x( t- ) и усреднив результат на интервале Т, Т , получим:
. (95)
Наличие помехи привело к тому, что в уравнении Винера-Хопфа появилось дополнительное слагаемое - взаимокорреляционная функция сигнала и помехи .
Для того, чтобы помеха не сказалась на результате идентификации, требуется, чтобы =0, т.е. помеха и выходной сигнал были некоррелированны.
Пусть сигнал y(t) измеряется без помех, а входной сигнал измеряется с помехой . При этом имеет место соотношение
(96)
Умножив (83) на [ ] и усреднив результат по времени, получим:
(97)
Для большинства реальных объектов можно считать, что помехи измерения являются некоррелированными с результатом измерения и кроме того, значения входного сигнала некоррелированны с помехами при измерении x(t). Тогда 0; ; и уравнение (83) примет вид
; (98)
Из этого уравнения видно, что помеха на входе приводит к ошибкам в определении весовой функции. Этот же вывод можно распространить на случай, когда с помехой измеряется и входной, и выходной сигналы.
Уравнение Винера-Хопфа относится к классу интегральных уравнений Фретгольма I рода. В общем случае такое уравнение записывается в виде
, (99)
где - параметр; в уравнении идентификации = I;
k(z,s)-ядро уравнения; в уравнении идентификации ядром уравнения является корреляционная функция;
искомая функция (импульсная весовая функция);
- свободный член (взаимнокорреляционная функция Ryx( )).
Для решения уравнения идентификации могут быть применены методы, разработанные в теории интегральных уравнений и в вычислительной математике для решения интегральных уравнений Фретгольма I рода [4.13].
Одним из наиболее простых методов решения (90) является конечно-разностный метод. Заменим бесконечный верхний предел у интеграла и уравнении Винера-Хопфа конечной величиной Т:
(100)
Применим один из методов численного интегрирования – метод прямоугольников. Тогда (87) запишется в виде
, (101)
где ;
Учитывая, что , , представим уравнение (88) в векторно-матричной форме:
= . (102)
Здесь
; (103)
; (104)
(105)
Рассмотрим как образуются элементы матрицы Rxx:
, (106)
т.е. дисперсия выходного сигнала
, (107)
и т.п. (108)
Из уравнения (89) находим:
(109)
При решении этого уравнения на ЭЦВМ для обращения матрицы пользуются стандартными подпрограммами (СП). В библиотеках СП часто имеются несколько подпрограмм обращения матриц, работающих по разным алгоритмам. Алгоритмы вычисления обратных матриц описаны в литературе по численным методам.
Рассмотрим аналог уравнения Винера-Хопфа для дискретного случая. Допустим, что измерения сигналов на входе и выходе линейного динамического объекта производятся с постоянным шагом квантования Тогда уравнение (96) можно записать в виде
, (110)
где i-невязка (иногда называемая шумом).
Невязка состоит из реакций на другие входы системы и ошибок в линейной модели, возникающих из-за предположения, что объект линейный и стационарный, а так же из-за замены интегрального уравнения дискретной суммой.
Пусть i=k,k+1,….,N, причем N-k >k. Запишем уравнение (110) в развернутом виде:
(111)
или в символическом виде:
Y=XG+E. (112)
Оценим вектор G из условия
. (113)
Необходимым условием минимума является
(114)
Из этого условия получаем уравнение Винера-Хопфа в дискретной форме:
(115)
Матрица ХтХ представляет собой квадратную матрицу размером (х+1)*(к+1). Элементы ее определяются следующим образом:
