русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Основное уравнение идентификации и методы его решения


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1209; Нарушение авторских прав


Однойиз наиболее распространенных форм математического описа­ния линейных динамических объектов в непараметрической форме является весовая, или импульсная переходная функция g(t). Эта характеристика однозначно описывает динамические свойства объекта.

Рассмотрим линейную динамическую систему с одним входом и выходом. Выход объекта y(t) связан со входом x(t) некоторым оператором А.

Представим x(t) в виде разложения по системе -функций;

X(t)= (82)

Здесь (t - ) - -функция, действующая в момент времени, равный . Поскольку рассматриваемая система линейна, для нее справедлив прин­цип суперпозиции:

A (83)

Поскольку y(t)=Ax(t), то

y(t)=A (84)

Здесь =g(t, ) – реакция объекта на -функцию, т.е. импульсная переходная функция.

Если сигнал на входе системы появляется, начиная с момента t=0, выражение (71) примет вид

Y(t) = (85)

Дли стационарных объектов интеграл-свертки записывается следующим образом:

Y(t)= (86)

Установим связь между статистическими характеристиками объекта управления. Известно, что взаимная корреляционная функция стационарного случайного процесса определяется по формуле

(87)

Подставим в (74) значение y(t) из (73) :

Rxy( )= (88)

Учитывая, что ,получим:

Ryx( (89)

Т.к. есть автокорреляционная функция входного сигнала R ( ) , то в итоге запишем следующее уравнение:

(90)

Это уравнение называют основным уравнением идентификации [5] или уравнением Винера-Хопфа. При выводе уравнения (77) рассматривались центрированные входные и выходные сигналы, мат.ожидание которых равно нулю. Однако уравнение (77) справедливо и для нецентрированных сигналов x(t) и y(t), т.е. содержащих неслучайную составляющую.

Пусть входной сигнал x(t) представляет собой белый шум. Автокорреляционная функция белого шума является функцией. = , где с –известная постоянная величина, характеризующая спектральную плотность белого шума. Тогда в соответствии со свойствами - функции получим:



= ; (91)

. (92)

Таким образом, взаимная корреляционная функция выходного и входного сигналов объекта в случае, когда входной сигнал является белым шумом, пропорциональна импульсной функции переходной функции объекта.

Рассмотрим влияние помех при измерении сигналов x(t) и y(t) на определение импульсной переходной функции. Вначале будем считать, что с помехой измеряется только входной сигнал

. (93)

Тогда

. (94)

Умножив (81) на x( t- ) и усреднив результат на интервале Т, Т , получим:

. (95)

Наличие помехи привело к тому, что в уравнении Винера-Хопфа появилось дополнительное слагаемое - взаимокорреляционная функция сигнала и помехи .

Для того, чтобы помеха не сказалась на результате идентификации, требуется, чтобы =0, т.е. помеха и выходной сигнал были некоррелированны.

Пусть сигнал y(t) измеряется без помех, а входной сигнал измеряется с помехой . При этом имеет место соотношение

(96)

Умножив (83) на [ ] и усреднив результат по времени, получим:

(97)

Для большинства реальных объектов можно считать, что помехи измерения являются некоррелированными с результатом измерения и кроме того, значения входного сигнала некоррелированны с помехами при измерении x(t). Тогда 0; ; и уравнение (83) примет вид

; (98)

Из этого уравнения видно, что помеха на входе приводит к ошибкам в определении весовой функции. Этот же вывод можно распространить на случай, когда с помехой измеряется и входной, и выходной сигналы.

Уравнение Винера-Хопфа относится к классу интегральных уравнений Фретгольма I рода. В общем случае такое уравнение записывается в виде

, (99)

где - параметр; в уравнении идентификации = I;

k(z,s)-ядро уравнения; в уравнении идентификации ядром уравнения является корреляционная функция;

искомая функция (импульсная весовая функция);

- свободный член (взаимнокорреляционная функция Ryx( )).

Для решения уравнения идентификации могут быть применены методы, разработанные в теории интегральных уравнений и в вычислительной математике для решения интегральных уравнений Фретгольма I рода [4.13].

Одним из наиболее простых методов решения (90) является конечно-разностный метод. Заменим бесконечный верхний предел у интеграла и уравнении Винера-Хопфа конечной величиной Т:

(100)

Применим один из методов численного интегрирования – метод прямоугольников. Тогда (87) запишется в виде

, (101)

где ;

Учитывая, что , , представим уравнение (88) в векторно-матричной форме:

= . (102)

Здесь

; (103)

; (104)

 

(105)

Рассмотрим как образуются элементы матрицы Rxx:

, (106)

т.е. дисперсия выходного сигнала

, (107)

и т.п. (108)

Из уравнения (89) находим:

(109)

При решении этого уравнения на ЭЦВМ для обращения матрицы пользуются стандартными подпрограммами (СП). В библиотеках СП часто имеются несколько подпрограмм обращения матриц, работающих по разным алгоритмам. Алгоритмы вычисления обратных матриц описаны в литературе по численным методам.

Рассмотрим аналог уравнения Винера-Хопфа для дискретного случая. Допустим, что измерения сигналов на входе и выходе линейного динамического объекта производятся с постоянным шагом квантования Тогда уравнение (96) можно записать в виде

, (110)

где i-невязка (иногда называемая шумом).

Невязка состоит из реакций на другие входы системы и ошибок в линейной модели, возникающих из-за предположения, что объект линейный и стационарный, а так же из-за замены интегрального уравнения дискретной суммой.

Пусть i=k,k+1,….,N, причем N-k >k. Запишем уравнение (110) в развернутом виде:

(111)

 

или в символическом виде:

Y=XG+E. (112)

Оценим вектор G из условия

. (113)

Необходимым условием минимума является

(114)

Из этого условия получаем уравнение Винера-Хопфа в дискретной форме:

(115)

Матрица ХтХ представляет собой квадратную матрицу размером (х+1)*(к+1). Элементы ее определяются следующим образом:

(116)

(117)

(118)

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Экспериментальным данным | Проблема некорректности задачи идентификации


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.