Различают два крупных подхода к построению модели:
ü формальный;
ü неформальный.
Неформальный подход базируется на методах экспертного оценивания, то есть получение данных (мнений) группы экспертов и обработка этих данных. Существует много способов экспертного опроса и методов обработки данных опроса, однако их изучение выходит за пределы нашей дисциплины.
Формальные подходы:
Существуют 2 больших формальных подхода к построению математических моделей.
1. Подход на базе фундаментальных законов естественных наук, то есть всего того, что в настоящее время накоплено человечеством - в физике, химии и т.д. Отметим при этом, что эти законы имеют свою область эффективного применения. Такие модели строятся чаще всего для детерминированных условиях, то есть они не учитывают неопределенность. Для достаточно сложных объектов и процессов такие модели обычно являются динамическими, нелинейны и имеют сложную структуру. Это именно те модели, которые мы ранее назвали объектами внутреннего механизма процесса или моделями в большом диапазоне изменений входных и выходных воздействий процесса, и эти модели отображают все необходимые стадии преобразования энергии или вещества исследуемого процесса.
Отметим особенности таких моделей:
a) как правило, для процессов и явлений, протекающих с преобразованием энергии и вещества, агрегатных превращений (переход из одного состояния в другое), модели достаточно сложны по своей структуре, содержат нелинейные операторы преобразования. Зачастую динамические модели таких объектов записывают в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных. Они могут содержать некорректные математические операторы, то есть такие, для которых малые ошибки исходных данных преобразуются в очень большие ошибки результатов расчетов;
b) для них нельзя использовать данные, непосредственно поступающие из действующих систем контроля, так как эти данные содержат обычные и грубые ошибки.
Данные, получаемые из действующих систем контроля, должны быть предварительно обработаны. После этого их можно использовать для расчета с использованием моделей внутренних механизмов процесса.
Основной целью такой обработки данных является выделение полезной составляющей сигнала, которая отражает соответственно непосредственное изменение измеряемой величины. Для этой цели используют алгоритмы фильтрации сигналов, в т.ч. и робастного типа (см. соответствующую методичку по фильтрации).
Выделение полезной составляющей с помощью фильтра низкой частоты можно пояснить следующим рисунком:
Фильтры низкой частоты
-
ε(t)
Y(t)
+
Рисунок 7 - Выделение полезной составляющей с помощью фильтра низкой частоты
На выходе этой схемы имеется два сигнала Y0(t) и ε(t), причем Y0(t) отождествляется со сглаженным значением Ỹ(t), а y(t) – отклонение от сглаженного значения следует отождествлять с помехой, ошибкой ε(t), по такой же схеме рис. 7 можно выделять полезную составляющую входа Y0(t) и W(t). Значения Y0(t) и W(t), как наиболее близкие составляющие полезного сигнала, могут быть использованы для обработки с помощью модели внутреннего механизма процесса.
В свою очередь значение Y0(t) можно получать с помощью моделей внутреннего механизма процесса Y0(t)=Ф{V(t), W(t)}.
Примеры применения основных физических и физико-химических законов для построения математических моделей в большом применительно к металлургическим процессам приведены в книге профессора Цымбала В.П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии: Учебник для ВУЗов/ В.П. Цымбал.- Кемерово; Москва: издательское объединение «Российские университеты».: КузбассВУЗИздат – АСТШ.-2006-431с.
Для примера рассмотрим простейший случай построения такой модели, взятый из книги Воронова А.А. Основы теории автоматического управления/М.-Л.: Энергия.-1965.-396с. (стр.45-54)
Пример: построить математическую модель двигателя постоянного тока с независимым постоянным возбуждением, управляемым путем изменения напряжения U на якоре двигателя.
Рисунок 8 - Двигатель постоянного тока с независимым постоянным возбуждением
Считая поток возбуждения постоянным (Ub=const), имеем
; (31)
; (32)
. (33)
где J – момент инерции ротора двигателя;
ω – угловая скорость вращения вала двигателя;
МД – движущий момент двигателя;
МС – момент сопротивления;
I – ток якоря;
U – напряжение на якоре двигателя;
RЯ – сопротивление якоря двигателя;
LЯ – индуктивность якоря двигателя;
kI, kω – постоянные коэффициенты.
Будим считать в качестве выходного воздействия модели, например, угол поворота вала двигателя, т.к. именно эта величина используется в качестве выходного воздействия двигателя в исполнительном блоке системы регулирования.
Таким образом, исходными для вывода математической модели двигателя являются выражения (31), (32), (33), где выражение (31) – известный закон механики, связывающий момент инерции и движущий момент; (32) – выражение, известное из теории электромашин, связывающее движущий момент двигателя и ток якоря; (33) – выражение, известное в электротехнике как закон Кирхгофа.
Заменив оператор дифференцирования символом p и проделав элементарные арифметические операции, получим из выражения (33):
; (34)
Подставив (34) в (31) и (32), получим:
; (35)
; (36)
; (37)
Обозначим ; (38)
- электромеханическая постоянная времени;
; (39)
- электромагнитная постоянная времени;
Получаем следующее ДУ в операторной форме:
; (40)
Как видно, это уравнение 2-го порядка с двумя входными воздействиями U и МС.
1. Если принять, что Tl << Tm, то можно величиной Tl пренебречь, т.е. Tl=0.
; (41)
2. Обычно время разгона двигателя намного меньше, чем время разгона связанного с двигателем регулирующего органа, поэтому можно принять Tm=0.
Если пренебречь МС(т.е. МС = 0), тогда
; (42)
а угол поворота вала двигателя
. (43)
Обычно, рассматривая в ТАУ модель системы регулирования, часто принимают в качестве модели двигателя (исполнительного механизма) модель интегрального звена, если в качестве выходной переменной принимать угол поворота двигателя.
Структура и значения параметров математической модели внутреннего механизма процесса определяется исходя из теории процессов, протекающих в О.И. Следовательно, если стоит задача построения внутреннего механизма процесса, то надо обратиться к теории этих процессов.
2 Идентификационный подход – этот подход основан на построении модели путем получения и обработки экспериментальных данных. Методы построения таких моделей – методы идентификации, а сам процесс построения модели – идентификация. С помощью методов идентификации получают функциональные или кибернетические модели.
Весь процесс построения модели методами идентификации можно разбить на 2 этапа:
