Пусть выбрано А(а, 0) - центр проектирования требуется определит проекцию точки М0() на Оу
Проецирующая прямая Л:
X = a + t(x0-a)
Y=ty0
M(0 y*)
Где y* = y0/(1-X0/a)
[0 0 0 ]
[0 1 0 ]
[-1/a 0 1 ]
Умножим на [x0 y0 1] = [0 y0 1-x0/a]
Нормируем столбец для н=1
, и точка .
Точки схода.
Свойства неоднозначности неоднородных координат (пропорциональности) используется в перспективных преобразованиях.
Определим влияние на единичный квадрат.
Произвольная точка М() преобразуется в М* по правилу:
Запись(та же)
Рассмотрим новые координаты вершин квадрата
О(00) == О(00)
О1(01) == О1(01)
(11) == (1/(1-1/а),1/(1-1/а))
(10) = (1/(1-1/а),0)
Так под преобразованием матрицей Ку произвольная прямая // оси Ох
вдоль оси Ох на плоскость Оyz
Пучок прямых параллельных OX преобразуется в пучок прямых проходящий через точку (-а,0) - точку входа преобразованной матрицей.
Единичный квадрат превращается в трапецию, которая стремится к квадрату при а =+ 00.
В случае 3д перспективные преобразования описываются аналогично.
Виды проецирования:
В компьютерной графике используется несколько различных видов проецирования (изображения пространственных объектов на картинной плоскости)
2 вида проекций:
- параллельное (линии идут параллельным пучком до пересечения с картинной плоскостью)
- центральное (проецирующие прямые выходят из центра пучка)
Каждый вид делится на классы.
Рассмотрим мат описание проецирования. Параллельные проекции делятся на 3 класса.
1)ортографическая проекция КП совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей.
Аксонометрические проекции - лучи перпендикулярны картинной плоскости. В соответствии с их расположением различают 3 проекции.
А) Триметрия - нормальный вектор КП образует с осями различные углы.
Б) Диметрия - 2 угла между картинной плоскостью и координатными осями равны между собой и 1 отличается
В) изометрия все 3 угла равны.
Каждый из 3 видов получается комбинацией поворотов вокруг осей координат и параллельного переноса в конце. При повороте относительно оси ..
Запись
В диметрии длины двух проекций совпадают, т.к. , откуда можно получить соотношения: .
При триметрии длины проекций попарно различны.
3. При косоугольном проецировании лучи не перпендикулярны картиной плоскости.
Орт оси OZ на плоскость преобразуется:
Особенности проекций:
А) при свободной проекции угол лучей к КП равен 45, тогда: a = b = 1/2cosp/4.
Б) кабинетная - частный случай свободной что-то равно 1/2
2. Перспективные (центральные) проекции. Строятся более сложно.
Изображение куба в одноточечной проекции рассмотрено выше, 2 и 3 -х точечные строятся тогда когда координатные оси не параллельны плоскости экрана и точки схода определяются, матрица преобразований имеет вид:
Проецирование гладких поверхностей на картинную плоскость. Рассмотрим проблемы проецирования на поверхности любого вида на примере параллельного проецирования.
Пусть кп совпадет с Oyz (х=0) а лучи перпендикулярные ей (параллельны ох)
Скалярное произведение = 1 всегда > 0 то есть вектор проецирования и нормальный вектор поверхности не перпендикулярны ни в одной точке - все токи плоскости однократно отображаются на картинной плоскости. Такая проекция - обыкновенная.
2. Параболический цилиндр - жуткая вещь!
Z = X2 или X2 - Z = 0
То есть в точках на оси оу (нл)=0 и вектора ортогональны, тогда точки плоскости (х=0) разбиваются на 3 класса:
- z>0 которые имеют 2 прообраза на поверхности
- z=0 точки на оу имеют один прообраз
- z<0 - не имеют прообразов на цилиндре
Такая особенность проецирования - складка.
3. Поверхность третьего порядка
Исходя из уравнения
3 X2 + Y = 0
находим на поверхности кривую, вдоль которой вектора N и L ортогональны. Это полукубическая парабола
27 Z2 = - 4Y3,
которая на плоскости X = 0 делит точки на три класса:
- точки, имеющие 1 прообраз на поверхности,
- точки на параболе, которые имеют 2 прообраза на поверхности,
- точки внутри острия, имеющие 3 прообраза на поверхности.
т.е. получим координаты M*(0,y,z).
, и точка 
.
вдоль оси Ох на плоскость Оyz
, откуда можно получить соотношения: 
.
