Лекция 26.10.2008

ГЕОМЕТРИЯ И ДИНАМИКА ИЗОБРАЖЕНИЙ.

Простейшее преобразование на плоскости.

Двумерные изображения - 2d (2-direction).

Преобразование координат можно трактовать двояко

А) Сохраняется точка и изменяется система координат

M(x,y) -> M(x',y')

Б) изменяется положение токи и сохраняется система координат

M(x,y) -> M'(x',y')

В дальнейшем будем рассматривать вариант б.

4 Преобразования координат на плоскости.

1. Параллельный перенос (заметка2)

X'=x+a

Y'=y+b

В матричной форме:

[x', y'] = [x, y] + [a, b]

2. Вращение

Поворот на заданый цгол фи > 0 от начала координа против часовой стрелки.

X' = x cos Fi - y sin Fi

Y' = x sin Fi + y cos Fi

3. Зеркальное отображение :

А) относительно ох (абсцисс)

X' = x

Y' = - y

Б) относительно оy (ординат)

X' = - x

Y' = y

4. Растяжение/сжатие.

X' = Kx * x

Y' = Ky * y

(Kx > 0 && Ky > 0) || (Kx < 0 && Ky < 0)

В общем виде преобразования можно описать аффинным преобразованием на плоскости

X' = alX + betY + a

Y' = gamX + betY + b

Описывает любое преобразование координат.

Заметим что обратное преобразование V' ->описывается теме же параметрами.

Таким образом, любое изменение координат на плоскости можно приставить по средствам комбинации, ПОСЛЕДОВАТ ВЫПОЛНЕНИЯ 4- простевших операций.

Для удобства описания введено положение точки в 3-х координатах (псевдопространстве).

Mu[x,`t,1 ] -онднороднхкоэфициетоы.

Матр ици пеорбразовен й ввеена.

éx^*ù écos j -sin j 0ù éxù

êy ^*ê= êsin j cos j 0 ê× êy ê

ë1 û ë 0 0 1û ë1û

Д-матрица.

Л 0 0

0 б 0

0 0 1

Матрицы отражения имеют индекс

1 0 0

0 -10

0 0 1

Переворот:

1 0 0

0 1 b

0 0 1

элементы матрицы произвольного аффинного преобразования не несёт в себе геометрического смысла, поэтому для отображения -(найти построив матрицы) по геометрическое описание:

-- последовательное применение простейших шагов.

Способы описания прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть описана в виде:

Ax+By+c=0

При условии что A^2 ! + B^2!=0

При

B !=0

Y=kx + b

K=-A/B

Известно писание примой по 2-м точкам.

Пусть есть 3 токи M1() M2(), ищем Ax+By+c=0

Тогда дл любой Ми и=1,2 справедливо

С = -axi -byi

Можно написать систему

A= - B(2-1)/(2-1)

(Х-1)/(2-1) = (У-1)/(2-1)- каноническое уравнение

MM1 = (x-x1,y-y1)

Означает что эти вектора коллинеарные

X=x1+t(x2-x1)

Y=y1+t(y2-y1)

Параметрические ...

Если ограничить т от 0 до 1 то

X=x1+t(x2-x1)

Y=y1+t(y2-y1)

- параметрические уравнения отрезка соединяющего заданные точки.

Существует описание прямой на плоскости путём задания m0(x0,y0) и нулевого вектора перпендикулярного l

N=(A,B)

Возьмём произвольную точку принадлежащую л.

Тогда N|M0M то есть скалярное произведение этих векторов =0. Вектор MoM = (x-x0,y-y) получим A(x-x0)+B(y-y0)=0

Обозначим C= -Ax0+By0

Значит a, b в общем уравнении прямой - координаты вектора перпендикулярной к прямой - вектора нормали.

Всякая прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости такчто для любой М" справедливо

А) Ax'+By'+c=0 M'€L

B) Ax'+By'+c>0 M' в положительной полуплоскости

C) Ax'+By'+c<0 M' в отрицательной полуплоскости

Нормальный вектор обладает ещё одним свойством:

Его конец всегда в положительной полуплоскости

Если прямую описать

C) -Ax-By-c=0 N будет указывать на положительную полуплоскость но другого направления