Вероятность. Случайные величины с дискретным и непрерывным распределением

Глава 1 Случайные числа

Основное содержание курса – статистическое моделирование структуры оптических материалов и протекающих в них физических процессов преобразования возбуждений.

Статистическое моделирование подразумевает использование понятий теории вероятности – области математики, предметом которой является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. В этом разделе напоминаются основные понятия теории вероятностей [3,5].

На интуитивном уровне термин «вероятность» понятен. Подброшенная монета имеет равные вероятности упасть как орлом, так и решкой. Игральная кость в форме кубика имеет равные вероятности упасть на плоскость любой из шести граней. Эти факты удобно изображать в виде гистограмм. Ввиду важности понятия «вероятность» дадим ему более строгое определение.

Прежде всего, считается, что определённый комплекс условий может многократно воспроизводиться. Например, бросаться одинаковым образом одна и та же игральная кость, или монета. При моделировании трансформации возбуждений мы будем считать возможным возбуждение определённого оптического центра на один и тот же энергетический уровень. Такую реализацию одного и того же комплекса условий будем называть «испытанием».

Если некоторое событие при заданных условиях может произойти, или не произойти, то оно называется “случайным”. Будем обозначать случайное событие прописной буквой А, В, С.

События называются «несовместными», если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания происходит хотя бы одно из них. События образуют полную группу, попарно несовместных событий, если в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Это наиболее важный случай.

Количественную оценку возможности появления события даёт его “вероятность”. Дадим определение вероятности события.

Статистическое определение вероятности.

Пусть при проведении испытаний событие произошло раз. Отношение называется частотой события А в серии 1. Во второй серии испытаний при тех же условиях частота оказалась равной . И так далее. Опыт говорит о том, что частота события устойчива. Её значения группируются около вполне определённого числа которое и будем называть вероятностью события р(А).

Переменная величина называется «случайной»,еслив результате испытания она принимает одно и только одно возможное значение, которое наперёд неизвестно и зависит от случайных, заранее не учитываемых причин.

Непрерывная и дискретные случайные величины.Случайная величина называется дискретной, если принимаемые ею значения можно пронумеровать. Иными словами: каждый раз, как выполняется некоторый комплекс условий, величина принимает одно из значений:

(1.1)

Наиболее простыми примерами являются: выпадание цифры на игральной кости, или на рулетке. Дискретной случайной величиной является число лепестков в цветке сирени. Примером из области физики могут служить уровни энергии редкоземельных ионов, которые добавляют в кристаллы и стёкла для получения лазерных и люминесцентных материалов. При заданном способе возбуждения (например, излучением лазера с фиксированной длиной волны) вероятности нахождения редкоземельных ионов на разных уровнях будут иметь определённые сильно различающиеся значения.

Чтобы задать дискретную случайную величину надо: (1) указать, какие значения она может принимать – и (2) указать вероятности этих значений – . Так как каждый раз при выполнении необходимых условий реализуется одно из возможных значений случайной величины, то:

(1.2)

При этом все числа должны быть положительны. Суммирование в (1.2) проводится по всем возможным значениям.

Например, числа, выпадающие при бросании игральной кости, характеризует следующая таблица:

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Для идеально сделанной “честной” кости вероятности выпадания всех чисел одинаковы.

Непрерывная случайная величиназадаётся интервалом , содержащим возможные значения этой величины, и плотностью распределения вероятности , которая определяется следующим соотношением:

(1.3)

Здесь – интервал, содержащийся внутри ; вероятность того, что значение окажется внутри интервала . Интервал может быть любым. В частности, возможны случаи и .

Плотность положительна. Интеграл от по всему интервалу равен единице:

(1.4)

Примером непрерывной случайной величины может служить скорость молекул газа . Она принимает значения в интервале . Плотность вероятности, которая называется распределением Максвелла, имеет вид:

(1.5)

Здесь – температура, – масса молекулы, – постоянная Больцмана.

Случайная величина, определённая на интервале , и имеющая плотность , называется «равномерно распределённой» в интервале .

Для дискретной случайной величины термин плотность вероятности не употребляется