Построение статической модели динамики объекта управления

Дисперсионный анализ. Регрессионный анализ (построение уравнения регрессии методом наименьших квадратов)

28.1 Дисперсионный анализ используется, когда при обработке и анализе результатов моделирования ставится задача сравнения средних значений выборок.

Допустим, изучаемый фактор Х привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y₁, y₂, ¼, y_k, где k – количество уровней фактора Х.

Влияние фактора Х опишем неслучайной величиной D_x, называемой факторной дисперсией

,

где - среднее арифметическое величины Y.

Пусть серия наблюдений на уровне y_i имеет вид: y_i1, y_i1, ¼, y_in, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений определяется как

,

а среднее значение наблюдений по всем уровням

.

Тогда общая выборочная дисперсия всех наблюдений равна

.

При этом, разброс значений Y определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора Х.

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами

,

а оценка факторной дисперсии

.

Так как факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на
i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии вида

.

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию S_в² , имеющую (k-1) степеней свободы. Влияние фактора Х будет значимым, если при заданном g выполняется неравенство

.

В противном случае влиянием фактора Х на результаты моделирования можно пренебречь и считать гипотезу о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, при помощи дисперсионного анализа можно проверять гипотезу о тождественности выборочной и генеральной дисперсий.

28.2 Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе работы имитационной модели. Под наилучшим понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента.

Рассмотрим случай, когда независимая переменная – одна, а уравнение линейно. Коэффициенты будем обозначать через b с разными индексами. Таким образом, для случая объекта с одним входом и выходом, результаты измерения x_i и y_i могут иметь вид, как это показано на рисунке 16.

Рисунок 16 – Построение уравнения регрессии

Из анализа расположения точек x_i и y_i можно сделать вывод, что модель объекта может быть представлена уравнением прямой линии (19). Численным подтверждением этого предположения может служить величина коэффициента корреляции

, (20)

где - средние значения, вычисляемые по формуле (15).

Если , то имеет место линейная зависимость вида (19). В противном случае, если <<1, то между x и y линейная связь отсутствует. Полагая наличие линейной зависимости (19), определяют такие значения коэффициентов b₀ и b₁, при которых сумма квадратов ошибок является минимальной. На рисунке ошибка для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии y. Обозначим расчетные y_i через . Тогда выражение для ошибок, разность между опытными значения y_i и расчетными y_i, будет иметь вид

.

Трудность заключается в том, что наименьшим должно быть не одно такое отклонение, а сумма всех отклонений сразу

,

но тогда отклонения рассматриваются не только по величине, а и по знаку. Потребуем, чтобы сумма отклонений была минимальной по абсолютной величине

.

Нахождение минимума связано с дифференцированием, а продифференцировать сумму не всегда возможно. Абсолютные величины как функции имеют точку излома при значении, равном нулю; в этой точке производная имеет разрыв. Поэтому желательно найти другую функцию, которая так же, как абсолютная величина, всегда была бы неотрицательной. Простейшая из таких функций – квадрат. Если мы начнем суммировать квадраты отклонений , то все члены суммы будут неотрицательны. Поэтому чаще всего задачу аппроксимации функции по опытным точкам решают на основе критерия

.

Такой вид аппроксимации называют методом наименьших квадратов. Тогда функция ошибки имеет вид

.

Для получения b₀ и b₁, при которых Ф является минимальной, принимаются необходимые условия минимума:

.

Дифференцируя (при дифференцировании следует помнить, что производная суммы равна сумме производных) Ф по b₀ и b_{1 ,}получаем:

(21)

(22)

Приравняв к нулю уравнения (21) и (22) и сократив на постоянный множитель
(-2), получим нормальные уравнения

.

Решая эти уравнения относительно b₀ и b_1, получаем:

; (23)

. (24)

Мерой ошибки регрессионной модели служит среднеквадратичное отклонение

s=.

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения s от линии регрессии и 95% точек - в пределах 2s. Для проверки точности используются критерии Фишера и Стьюдента.

29 Понятие адекватности. Критерии согласия: Пирсона (c² – критерий), Смирнова, Стьюдента (t - критерий), Фишера (F - критерий), Кохрена (У - критерий), Чеснокова, Колмогорова

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Задача проверки адекватности модели заключается в построении критерия для проверки нулевой гипотезы Н₀.

29.1 Критерий согласия Пирсона (критерий c²). Н₀ – о виде распределения.

,

где - количество значений случайной величины h, попавших в i-й подинтервал;

- вероятность попадания случайной величины h в i-й подинтервал, вычисленный из теоретического распределения;

d - количество подинтервалов, на которые разбит интервал измерения.

Была выдвинута гипотеза H₀ o том, что полученные интервалы времени на набор строк задания подчиняются нормальному закону распределения. По вычисленному U=c², числу степеней свободы k=d-r-1 (r – число параметров теоретического закона распределения) и таблиц находят вероятность . Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости g, то гипотеза Н₀ принимается.

29.2 Критерий согласия Кокрена (Y - критерий). Н₀ – однородность выборки. Используется следующая формула

.

где - максимальная из всех дисперсий параллельных опытов;

- оцениваемая дисперсия.

По вычисленному Y, числу степеней свободы k=N-1 и таблиц находят - табличные значения. Гипотеза Н₀ применяется, если при некотором уровне значимости g.

29.3 Критерий согласия Колмогорова. Н₀ – о виде распределения.

В качестве меры распределения случайной величены используется D, вычисленная по формуле

.

Из теоремы Колмогорова следует, что , и имеет функцию распределения:

, z>0.

Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение d меньше, чем табличное при выбранном уровне значимости g, то гипотезу Н₀ принимают. В противном случае расхождение между F_Э(y) и F(y) считается неслучайным и Н₀ отвергают.

Данный критерий целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения.

29.4 Критерий согласия Чеснокова. В ситуациях, когда приходится анализировать материалы свободного описания объектов, т.е. выбирать произвольно избирательные качественные критерии, возникает необходимость установить значимость сходства характеристик приписываемых различным объектам. Это реализуется с помощью вычисления дефекта связи D и ее объема C между двумя наборами соответствующих характеристик.

Если К₀ – число элементов характеристик, вошедших в оба ряда свойств сравниваемых объектов;

К₁ – число элементов, включенных в ряд описания 1-го объекта;

К₂ – число элементов, включенных в ряд описания 2-го объекта;

то для вычисления дефекта связи D и объема связи С:

, .

Если , а , то между двумя рядами характеристик существует значимая связь, а сходство рассматриваемых в описании объектов достоверное.

29.5 Критерий согласия Фишера (F-критерий). Н₀ заключающейся в принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности.

Пусть надо сравнить две дисперсии и , полученные результаты при моделировании со степенями свободы k₁ и k₂, k₁=N₁-1, k₂=N₂-1. Причем , для того, чтобы опровергнуть нулевую гипотезу Н₀: , надо при уровне значимости g указать значимость расхождения между и . При условии независимости выборок, взятых из нормативных совокупностей, в качестве критерия значимости используется F-критерий

.

Вычисляют F, определяют k₁ и k₂ и при выбранном уровне значимости g по таблицам F-распределений находят значения границ критической области:

и .

Затем проверяется неравенство: . Если неравенство выполняется, то с доверительной вероятностью b гипотеза Н₀ принимается.

29.6 Критерий согласия Стьюдента (t-критерий). Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[u]=D[z], сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: .

Для проверки гипотезы необходимо вычислить t:

,

где N₁ и N₂ – объем выборок для оценки и ;

и - оценки дисперсий.

Затем определяется число степеней свободы k и при выбранном уровне значимости g и таблиц сравнивают t и t_g. Если |t|<t_g, то гипотезу Н₀ принимают.

29.7 Критерий согласия Смирнова. Н₀: две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если выборки независимы между собой и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которых извлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов n и z, то для проверки нулевой гипотезы Н₀ можно использовать критерий Смирнова.

По имеющимся результатам вычисляют эмпирические функции распределений F_э(u) и F_э(z) и определяют

.

Если при выбранном уровне значимости g выполняется соотношение

,

где N₁ и N₂ объемы сравниваемых выборок для F_Э(u) и F_Э(z) и проводится сравнение D и D_g, если D> D_g, то нулевая гипотеза Н₀ о тождественности законов распределений F(u) и F(z) с доверительной вероятностью отвергается.

Поведение объекта управления в динамике можно описать непрерывным дифференциальным уравнением

,

где - выходной и входной сигналы объекта; D – дифференциальный оператор, равный ; - неизвестные параметры; t - время запаздывания.

Для дискретных сигналов связь между входным Х(t) и выходным Y(t) сигналами в момент времени t=0, 1, 2… описывается разностным уравнением

. (25)

Линейную модель (25) можно эквивалентным образом описать с помощью оператора сдвига назад путем замены , в ходе преобразований получим:

. (26)

Другими словами выход Y_t и вход X_t связаны линейным фильтром:

,

где v₀, v₁ – дискретная функция отклика на единичный импульс.

Теперь рассмотрим решение задачи идентификации или нахождение коэффициентов d_I и w_j модели (26). Пусть известны вход X_t и выход Y_t объекта.

Полагаем, что входной процесс X_t описывается моделью авторегрессии третьего порядка:

. (27)

Опишем последовательность нахождения Ф_i , i=1, 2, 3 в уравнении авторегрессии третьего порядка (27), представленной в виде

. (28)

Умножим (28) на X_t-k и перейдя к математическим ожиданиям величин, получим разностное уравнение

. (29)

Отметим, что , а поскольку импульсы не коррелируются с . Параметр называется автоковариацией с задержкой К и вычисляется по формуле:

, К=0, -1, -2… (30)

Введем коэффициент корреляции

. (31)

Разделив левую и правую часть уравнения (30) на , получим:

;

;

. (32)

Зная , , , систему уравнений (32) легко разрешить относительно Ф_i, i=1, 2, 3.

Теперь перейдем к определению дискретной весовой функции: v₀, v₁, ...v_K , для этого определим коэффициент взаимной ковариации

(33)

Коэффициент взаимной корреляции:

.

С помощью рядов (28) вычислим G_a, G_b, a_t и B_t, t=0, 1, 2,…n. Затем, умножая обе части уравнения (28) на B_t+k, G_b и разделив на G_a и G_b получим коэффициент взаимной корреляции

, причем .

Оценки весовой функции вычисляются по формуле

, К=0, 1, 2,…10.

Если окажется, что оценки малы по сравнению с , то это значит запаздывание равно B. Для модели (26) оценки d_I и определяются следующим образом:

,

,

.

Из последних двух уравнений вычисляются оценки и , которые при подставке в третье и четвертое уравнения позволяют определить оценки .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. Математическое описание процессов. – М.: Химия, 1973. – 224 с.

2 Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов по спец. «Автоматизированные системы управления». – М.: Высш. шк., 2001. – 271 с.: ил.

3 Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. пособие – Мн.: Дизайн ПРО, 1997,- 288 с.:ил.

4 Кузичкин Н.В. и др. Методы и средства автоматизированного расчета химико-технологических систем.: Учеб. пособие для вузов – Л.: Химия, 1987. – 152 с.

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОТРАСЛЬЮ»

для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 53 01 01 - «Автоматизация технологических

процессов и производств»

Составитель к.т.н., Иванова Ирина Дмитриевна

Редактор Бажанова Т.Л.

Технический редактор Щербакова А.А

___________________________________________________________________________

Подписано в печать_____________ Формат 60х84 1/16

Печать офсетная. Усл. печ. л.___________ Уч.-изд. л.______

Тираж ______экз.______Заказ_________ Бесплатно

Лицензия № 226 от 12.02.2003 г.

___________________________________________________________________________

Отпечатано на ризографе МГУП

212027, г. Могилев, пр-кт Шмидта, 3.