Параметрические методы штрафных функций

Эквивалентная задача безусловной минимизации

Общая схема метода штрафных функций.

Пример 1.

Общая постановка задачи

Метод штрафных функций

Исходная задача условной оптимизации преобразуется в эквивалентную ей последовательность задач безусловной минимизации путем введения штрафных функций.

Штрафные функции должны определяться так, чтобы при решении задач безусловной минимизации, достигнув точек исходной задачи, имели преимущество перед недопустимыми.

Когда мы находимся близко к выполнению условия

В методе штрафных функций (итерационный метод), исходя из заданного индекса на каждом шаге решается задача безусловной оптимизации. Решением задачи является последовательность .

Целевая функция задачи безусловной оптимизации называется расширенной функцией .

Первую задачу превращаем в последовательность задач, так как для безусловной задач не существует прямых методов решения.

, где

– расширенная функция.

– индикаторная функция (абстрактная функция и для конкретных решений использована быть не может)

Если задано X в виде ограничений неравенств и равенств, то

,

Конкретная штрафная функция в пределе сходится к индикаторной.

Операции определения минимума и предела являются операциями перестановочными (то есть их можно менять местами).

Последовательность задач безусловной минимизации.

Решение задачи:

В структуру штрафных функций входят один или несколько штрафных параметров, выполняющих роль весовых коэффициентов:

Для параметрических методов используют:

Чтобы применять методы должно выполняться:

1)Решения задач безусловной минимизации должны сходится к решению исходной задачи условной оптимизации

2)Сложность минимизации . Расширенная функция должна быть того же порядка, что и f(x).

3)Правило пересчета должно быть простым.

Параметрические методы делятся на:

1)Методы внутренней точки (методы внутренних штрафных функций)

2)Методы внешней точки (методы внешних штрафных функций)

3)Комбинированные (смешанные) методы.

Параметрический метод штрафных функций называется методом внутренней (внешней) точки, если все точки последовательности являются допустимыми (недопустимыми).

Если точки последовательности двух типов, то метод комбинированный.