Физическая модель – это материальный объект (или система взаимосвязанных объектов), который в некотором строго определенном смысле (форма, количество компонентов и их взаимодействие и т. п.) подобен изучаемому объекту, но более удобен для проведения исследований (меньше, проще, дешевле и т. п.).
Примеры физических моделей:
1. Самолет в аэродинамической трубе. Помещая самолет в аэродинамическую трубу и испытывая его в различных воздушных потоках, мы решаем задачу взаимодействия системы с внешней средой. Это еще одна очень важная цель моделирования. При этом в корпусе самолета не обязательно должны находиться кресла, и тем более, стюардессы. Какие из свойств объекта необходимо учесть, а какие можно опустить, степень подробности воспроизведения моделью объекта, определяется теми вопросами, на которые хотят ответить с помощью модели.
2. Аквариум является примером физического моделирования. В аквариуме можно моделировать водную экосистему - речную, озерную, морскую, заселить ее некоторыми видами фито- и зоопланктона, рыбами, поддерживать определенный состав воды, температуру, даже течения. И строго контролировать условия эксперимента. Какие компоненты естественной системы будут воспроизведены, и с какой точностью, зависит от цели моделирования.
3. Популяция дрозофилы, является классическим объектом моделирования микроэволюционного процесса и примером исключительно удачно найденной модели. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке. Хотя не вполне ясно, справедливы ли эволюционные закономерности, установленные на вирусах, для законов эволюции высших животных. В лекции 11 мы увидим, что хорошей моделью микроэволюционных процессов являются также микробные популяции в проточном культиваторе.
Из приведенных примеров видно, что любая физическая модель обладает конкретными свойствами физического объекта. В этом ее преимущества, но в этом и ее ограничения.
Математические модели, в отличие от физических, не связаны с воспроизведением материальных свойств объекта, а представляют собой набор математических выражений (формул, уравнений, набора данных), с той или иной степенью точности описывающих поведение объекта моделирования. Как и физические, математические модели всегда основаны на некотором упрощении, идеализации, отбрасывании факторов, которые в данный момент или на данном этапе исследований представляются несущественными. Например, уравнения ньютоновой механики не учитывают релятивистских эффектов, уравнение колебательного контура не учитывает нелинейности элементов контура, школьное уравнение, описывающее свободное падение тела в гравитационном поле Земли, не учитывает зависимости силы притяжения от высоты и т. д. В связи с запросами практики и развитием самой математики математические модели усложняются, становятся более универсальными, более совершенными.
С технологической точки зрения, математическая модель представляет собой компьютерную программу, реализующую тот или иной алгоритм и взаимодействующую с исследователем посредством пользовательского интерфейса. Посредством интерфейса пользователь посылает ей исходные (входные) данные (например, с помощью окон ввода, кнопок, движков, командной строки и т. д.), с другой — смотрит на результат работы модели, то есть воспринимает посредством интерфейса (графиков, таблиц, анимации) выходные данные.
Чем более сложными являются объекты и процессы, которыми занимается наука, тем труднее найти математические абстракции, подходящие для описания этих объектов и процессов. В биологию, геологию и другие "описательные науки" математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века, в отличие от физики и химии, где она присутствовала очень давно.
Поскольку вопросы физического моделирования выходят за рамки настоящего курса, в дальнейшем изложении, говоря «модель» мы будем подразумевать «математическая модель», если специально не оговорено иное.
Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Эта область математической биологии и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке – это знаменитый ряд Фибоначчи, который приводит в своем труде Леонардо Пизанский в 13 веке. Он рассматривает развитие идеализированной популяции кроликов, предполагая что:
В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).
Другая подобная модель - модель Мальтуса (1798), описывающая размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. В дискретном виде этот закон представляет собой геометрическую прогрессию:
или ,
где q > 0 – постоянный коэффициент.
Этот закон, записанный в виде дифференциального уравнения, представляет собой модель экспоненциального роста популяции x и хорошо описывает рост клеточных популяций в отсутствии какого-либо лимитирования:
На этих простейших моделях видно, насколько примитивны математические модели по сравнению с биологическими объектами, каждый из которых, к примеру, популяция - это совокупность сложно организованных индивидуальных особей. В свою очередь каждый организм состоит из органов, тканей и клеток, осуществляет процессы метаболизма, двигается, рождается, растет, размножается, стареет и умирает. И каждая живая клетка - сложная гетерогенная система, объем которой разграничен мембранами и содержит субклеточные органеллы, и так далее, вплоть до биомакромолекул, аминокислот и полипептидов. На всех уровнях живой материи мы встречаем сложную пространственно-временную организацию, гетерогенность, индивидуальность, подвижность, потоки массы, энергии и информации.
Ясно, что для таких систем любая математика дает лишь грубое упрощенное описание. Дело существенно продвинулось с использованием компьютеров, которые позволяют имитировать достаточно сложные системы, однако и здесь, как правило, речь идет именно о моделях, т.е. о некоторых идеальных копиях живых систем, отражающих лишь некоторые их свойства, причем схематически.
По способу представления объекта все математические модели можно условно разделить на функциональные и структурные.
Функциональные модели - это формулы, описывающие связь входных и выходных характеристик системы, не претендуя на физический или биологический смысл этих зависимостей. Объект при этом рассматривается в виде «черного ящика» с набором входов и выходов, содержимое которого исследователю не известно (и не интересно). Значения на входах и выходах черного ящика можно наблюдать и измерять.
Задача состоит в том, чтобы, проведя серию экспериментов над объектом (или наблюдений за ним), построить модель, то есть определить передаточную функцию ящика, по которой вход преобразуется в выход. Такая задача называется задачей регрессионного анализа, поэтому функциональные модели часто называют также регрессионными.
Пусть, например, перед нами стоит задача определить, как зависит выпуск продукции некоего производства от количества потребляемой электроэнергии. Результаты наблюдений отобразим на графике. Всего на графике n экспериментальных точек, которые соответствуют n наблюдениям.
Предполагаем, что зависимость между входом и выходом линейная или почти линейная, т. е. подчиняется закону . Тогда данная модель будет называться линейной одномерной регрессионной моделью.
После этого тем или иным способом (графо-аналитическим методом или методом наименьших квадратов) определяем значения коэффициентов и . Модель готова – мы можем примерно рассчитать (т. е. заранее предсказать) значения выхода объекта для любых значений входа (не только в экспериментально изученных точках, но и во всех промежуточных).
Пример из биологии:
1. Модель динамики рыбного стада хамсы в Азовском море (Горстко, 1985 г.). Зависимость между количеством производителей хамсы x, зашедших весной из Черного моря в Азовское производителей хамсы (млрд. штук), и количеством выжившей молоди от каждого нерестившегося производителя y:
В отличие от функциональных, структурные модели строятся на основании имеющихся у экспериментатора знаний о внутреннем устройстве объекта моделирования. Структурные модели могут включать в себя функциональные. Например, если бы у нас имелись экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что среднегодовая температура воды в Керченском проливе t оказывает существенное влияние на количество зашедших в Азовское море производителей хамсы x, использующееся в модели Горстко, то мы могли бы описанным выше способом регрессионного анализа построить функциональную модель зависимости и объединить ее с первоначальной моделью, тем самым повысив степень ее адекватности, т. е. соответствия реальному объекту (ведь в модели Горстко влияние темературы не учитывалось, а в реальности такое влияние есть). Получившаяся в результате комбинация из двух функциональных моделей уже являлась бы структурной, так как объект моделирования (экосистема Азовского моря) уже являлся бы не вполне «черным», а скорее «серым» ящиком, поскольку некоторые данные о его внутреннем устройстве (взаимосвязи протекающих в нем процессов) у нас бы уже имелось.
Признаком, отличающим структурные модели от функциональных является наличие одного или нескольких внутренних параметров. В описанной выше гипотетической модели «температура t – количество производителей x – удельное количеством выжившей молоди y» таким внутренним параметром являлась бы переменная x.
Простые структурные модели, передаточную характеристику которых можно записать в виде одного или нескольких математических выражений, без использования в явном виде аппарата дифференциальных уравнений или случайных величин часто называют аналитическими моделями. В противном случае (при использовании в ней дифференциальных уравнений в явном виде или случайных величин) структурную модель называют имитационной.
Суть имитационного моделирования заключается в исследовании сложной математической модели с помощью вычислительных экспериментов. Процесс построения имитационной модели можно представить следующим образом. Мы записываем в любом доступном для компьютера формализованном виде (в виде дифференциальных и аналитических уравнений, логических соотношений, вероятностных законов) все, что знаем о системе, а потом проигрываем на компьютере варианты того, что может дать совокупность этих знаний при тех или иных значениях внешних и внутренних параметров системы.
Ясно, что разработка имитационной модели сложной системы и работа с этой моделью часто требуют усилий целого коллектива специалистов, как в области машинной математики, так и в предметной области.
Примеры активно разрабатываемых имитационных моделей в области биологии:
1. Модели систем организма.
В настоящее время имеются имитационные модели многих систем организма - сердца, желудочно-кишечного тракта, почек, печени, мозга, и других.
2. Модели продукционного процесса растений.
Имитационные модели продукционного процесса растений (агробиоценозов) для разных культур являются одними из первых имитационных моделей. Практическая задача моделирования - выбор оптимальной стратегии проведения сельскохозяйственных мероприятий: орошения, полива, внесения удобрений с целью получения максимального урожая. Существует большое число моделей разных культур. Среди биотических процессов выделяют блок фотосинтеза, блок корневого питания, блок роста и развития, блок почвенной микрофлоры, блок развития болезней сельскохозяйственной культуры и другие. Рассматриваются также геофизические процессы: формирование теплового и водного режима, концентрации и передвижения биогенных и токсических солей, концентрации СО2 в посеве и других.
3. Модели водных экосистем.
Водная среда гораздо более однородна, чем сухопутные биогеоценозы, и имитационные модели водных систем успешно создаются начиная с 70-х годов 20 века. Описание обменных процессов в водной среде включает описание усвоения азота, фосфора и других биогенных элементов, рост фито- и зоопланктона и детрита. При этом важно учитывать гидробиологические процессы в рассматриваемых водоемах, которые, как правило, являются неоднородными и при моделировании разбиваются на ряд частей.
или 
,
ящика, по которой вход преобразуется в выход. Такая задача называется задачей регрессионного анализа, поэтому функциональные модели часто называют также регрессионными.
. Тогда данная модель будет называться линейной одномерной регрессионной моделью.
и 
. Модель готова – мы можем примерно рассчитать (т. е. заранее предсказать) значения выхода объекта для любых значений входа (не только в экспериментально изученных точках, но и во всех промежуточных).
и объединить ее с первоначальной моделью, тем самым повысив степень ее адекватности, т. е. соответствия реальному объекту (ведь в модели Горстко влияние темературы не учитывалось, а в реальности такое влияние есть). Получившаяся в результате комбинация из двух функциональных моделей уже являлась бы структурной, так как объект моделирования (экосистема Азовского моря) уже являлся бы не вполне «черным», а скорее «серым» ящиком, поскольку некоторые данные о его внутреннем устройстве (взаимосвязи протекающих в нем процессов) у нас бы уже имелось.