Упражнение. 1. Проверить, что при n=4 программа действительно генерирует требуемую последовательность.
2. Показать, что в процессе исполнения оператора строки {2} вызов процедуры GRAY происходит 2m-1 раз.
3. Доказать корректность программы SET2.
4. Определить вычислительную сложность программы SET2.
Упорядоченную последовательность двоичных n-разрядных наборов обычно называют кодами Грея n-го порядка(происхождение этого названия см. [4]), если каждый набор в этой последовательности отличается от предыдущего изменением только одного разряда.
Пусть задана некоторая перестановка <a1,...,an>. Нетрудно видеть, что если мы в строке {1} программы SET2 заменим оператор печати на write (s[a[i]]), то модернизируемая программа будет также строить коды Грея. Их обычно называют симметрично-отраженными. Можно показать, что существует n! различных симметрично-отраженных кодов Грея, начинающихся с нулевого кодового слова.
Упражнение. Для какого наименьшего n существует несимметрично отраженный код Грея, начинающийся с нулевого кодового слова.
Перейдем к построению итеративного варианта алгоритма SET2. Здесь достаточно учесть равенство In = Pn:
const n= ;
var s : array [1..n] of 0..1;
i,j,k,p : integer;
{0} for k:=1 to n do s[k]:=0;
i:=0; {i определяет число сгенерированных подмножеств}
repeat
for k:=1 to n do write( s[k] ); writeln;
{1} i:=i+1;
p:=1; j:=i;
{2} while j mod 2 = 0 do
begin {j*2p-1 = i}
j:=j div 2;
p:= p+1
end; {p определяет номер изменяемого разряда}
if p <= n then
{3} s[p]:=1-s[p]
{4} until p>n
end.
Комментарий. Пусть после выполнения оператора {1} i имеет двоичное разложение bm...bp0...0, где bp=1 (или до выполнения оператора {1} значение i в двоичной системе выглядело как bm...bp+101...1 (сравните с программой SET1)). Для определения p достаточно выполнить оператор {2}. Условие {4} означает, что уже сгенерировано 2n кодовых слов.
Упражнение. Определить вычислительную сложность программыSET3.
Улучшить временные характеристики приведенной программы можно за счет замены цикла {2} более совершенной конструкцией. Здесь возможны два подхода . Первый основан на непосредственном применении машинных команд, а второй - на использовании определенной закономерности в последовательности номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове.
Перейдем к изложению первого способа. Предположим, что порядок генерируемых кодовых слов меньше чем длина машинного слова в арифметических и логических командах ЭВМ. Пусть знак º обозначает команду по разрядного сравнения двух слов (т.е. в результате получается новое слово, в котором единицы стоят только а тех разрядах, которые различны в заданных словах). Знак & обозначает поразрядную конъюнкцию двух слов. Применив эти команды, можно улучшить временные характеристики программы SET3. В самом деле s можно хранить в упакованном виде в одном слове. Пусть в i1 хранится значение i до выполнения оператора {1}, т.е. i1=i-1. Тогда оператор {0} эквивалентен s:=0; оператор {2} - p:=(iºi1)&i; оператор {3} - s:=sºp; условие {4} записывается как i=2n.
Пример. Пусть длина машинного слова равна 16. После оператора {1} i=3984. Тогда машинное представление:
i=0000 1111 1001 0000
i1=i-1=0000 1111 1000 1111
iºi1=0000 0000 0001 1111
p=(iºi1)&i=0000 0000 0001 0000
Случай когда n совпадает с длиной машинного слова, поддается подобной модификации, но требует учета ‘переполнения’ слов.
Упражнение. Используя равенство In = Pn показать, что если 0£i<n и bnbn-1...b0-двоичное представление i, записанное в n+1 позиции и Gi=g1g2...gn i-ый по порядку код Грея, генерируемый программой SET3, то gk = bn-k+bn-k+1, 1£k£n. Построить программу генерации кодов Грея на основе последнего равенства.
Второй способ [4] строится на хранении в памяти последовательности значений номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове, т.е. на хранении значений последовательности Pn. Вследствие рекурсивного определения Pn естественно организовать хранение ее элементов в виде стека. В этом случае генерация ее элементов может быть описана по следующей итеративной схеме:
1) {инициализация стека} Вначале стек содержит элементы n,n-1,...,1 (с 1 в вершине).
2) Алгоритм выталкивает верхний элемент i и помещает его в последовательность.
3) В стек добавляются элементы i-1,i-2,...,1.
4) Повторяются выполнения с шага 2 до тех пор, пока стек не опустошится.
2. Написать программу генерации Pn по этому алгоритму.
3. Оценить временную и емкостную сложность полученной программы.
Отметим, что занесение значений в стек фактически совпадает с занесением значений параметра m в стек исполняемой программы при вызовах процедуры GRAY из SET2, и поэтому не дает существенного выигрыша по сравнению с алгоритмами SET2 и SET3. Однако если организовать стек в виде списочной структуры особого типа, при которой действия по включению на шаге 3 элементов i-1,i-2,...,1 в стек выполняются за постоянное число операций, независящих от i, то можно заметно улучшить временные характеристики алгоритма.
Пусть стек хранится в массиве (t0,t1,...,tn), при этом t0 указывает на верхний элемент в стеке, и для каждого i>0 ti определяет значение расположенное в стеке под элементом i, если i находится в стеке. Заметим, что элементы i-1,i-2,...,1 помещаются в стек после удаления элемента i за счет изменения значения t0 на 1.Если i нет в стеке, то значение ti может быть, вообще говоря, любым, так как не оказывает никакого влияния на вычисления. Однако его значение разумно установить равным i+1, т.к. по свойству алгоритма, в случае когда в следующий раз элемент i+1 будет помещен в стек, элементом, находящимся над ним, будет i. Удаление из стека элемента i в этом случае может быть осуществлено за счет пересылки ti-1 в ti. Алгоритм порождения последовательности Pn на языке Паскаль может быть записан так:
program PN ;
const n= ; n1 = ; {n1=n+1; }
var t : array [0..n] of 1..n1; {стек}
p: integer;
begin
for p:=0 to n do
t[p]:=p+1 ; {инициализация стека}
p:=0;
while p<n1 do
begin
p:=t[0]; {1}
if p<>n1 then
begin
writeln (p); {2}
t[p-1]:=t[p]; {3}
t[p]:=p+1;
if p<>1 then t[0]:=1 {4}
end
end
end.
Упражнения. 1.Протестируйте программу PN при n=3.
2. Докажите корректность алгоритма генерации последовательности Pn для произвольного n.
Замечание. Если оператор {1} поместить после оператора {2}, то оператор {4} можно исключить, т.к. в этом случае неверные значения t[0] будут исправляться оператором {3}.
Учитывая последнее замечание, алгоритм генерации кодов Грея на основе порождения последовательности Pn по алгоритму Pn может быть записан так:
program SET4;
const n = ; n1 = ; n2 = ; {n1=n+1; n2= n+2}
var t : array [0..n1] of 1..n2;
s : array [1..n1] of 0..1;
i,p : integer;
begin
for i:=1 to n1 do
begin s[i]:=0;
t[i]:=i+1 {инициализация стека}
end;
p:=0; t[0]:=1;
{1} while p<n1 do
begin
for i:=1 to n do write( s[i] ); writeln;
p:=t[0];
s[p]:=1-s[p];
t[0]:=1;
t[p-1]:=t[p];
t[p]:=p+1
end
end.
Комментарий. Добавление в массивы tи s n+1-х элементов сделано для того, чтобы сократить число проверок внутри цикла {1}.
Для представления данных некоторых задач более естественными, чем множества являются множества с повторениями элементов, или мультимножества. При записи мультимножеств с каждым элементом удобно связывать неотрицательное целое число, указывающее количество повторений этого элемента.
Пример. Мультимножество (x, x, x, y, y, z, z, z, u) удобно записывать как (3×x, 2×y, 3×z, 1×u).
Применение коэффициентов кратности удобно также для представления мультимножеств при построении алгоритмов. Пусть x<y<z<u, тогда множество (3×x, 2×y, 3×z, 1×u) представимо как (3,2,3,1).
Таким образом, если для представления подмножеств некоторого базового множества из n элементов были использованы n-последовательности нулей и единиц, то для представления мультимножеств, которые можно построить на базе этого множества, удобно использовать n-кортежи неотрицательных целых чисел.
Упражнения. 1. Пусть задано мультимножество A=(m1,....,mn), mi³0, 1£i£n. Доказать, что А имеет мультиподмножеств.
2. Пусть A=(m,...,m), где базовое множество содержит n элементов. Написать программу генерации всех мультиподмножеств А в лексикографическом порядке. заметим, что подобная генерация фактически совпадает с выводом всех чисел от 0 до mn-1 d m-ричной позиционной системе.
3.Написать программу генерации всех мультиподмножеств А из предыдущего упражнения, при котором каждое последующее мультиподмножество отличается от предыдущего вставкой или удалением одного элемента. Генерация начинается с представления пустого множества. (Вначале постройте рекурсивный алгоритм генерации, например, воспользовавшись последовательностью
мультиподмножеств.