В математических моделях принятия решений в качестве нового знания выступает оптимальное решение, которое в наилучшем смысле соответствует достижению поставленной цели (целей).
Введем в рассмотрение n-мерный вектор X = (x1, x2, … , xn), определяющий количественные характеристики формируемого решения.
Обозначим через a, b, c вектора соответствующих размерностей, описывающие количественные характеристики неконтролируемых факторов.
Для оценки эффективности различных вариантов решений будем использовать специальным образом сформированную функцию:
W = f(c, X),
которая называется критерием оптимальности решений или целевой функцией задачи ПР.
Тогда выбор оптимального решения Хопт будем осуществлять, исходя из требования .
Множество Х должно быть допустимым с точки зрения учета условий принятия решений (ограничений).
Пусть ЛПР обладает для достижения цели вектором ресурсов b. Представим в виде вектор-функции j(а, Х) фактический расход ресурсов при использовании вектора решений Х и вектора некоторых факторов а.
Тогда j(а, Х) £ b есть ограничение.
Во многих задачах ПР учитывается условие Х ³0.
Таким образом, общая математическая модель формирования оптимальных решений может быть представлена в следующем виде:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Постановка задачи в этом случае выглядит следующим образом:
Найти значение вектора Х, доставляющего максимум (минимум) критерию оптимальности решений (4.1) и удовлетворяющего при этом условиям (4.2) и (4.3).
Математическая модель ПР (4.1) – (4.3) является однокритериальной моделью.
Если ЛПР должен учитывать m целей, то, формализуя их в виде критериев оптимальности, получим:
(4.4)
где c1 , c2 , …, cm – вектора неконтролируемых факторов.
Математическая модель (4.4), (4.2), (4.3) является многокритериальной моделью.
В реальных задачах ПР ограничения вида (4.2) могут включать в себя как неравенства вида «£», «³», «=», так и их различные сочетания.
4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке)
Пусть требуется выбрать геометрические размеры цилиндрического бака объемом V из условия минимального расхода материала на его изготовление.
Для построения математической модели введем в рассмотрение вектор проектных решений Х = (r, h), где 2r, h – диаметр и высота бака (Рис. 4.3).
Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решений Х будет равен площади поверхности бака:
. (4.5)
Согласно условиям задачи выражение (4.5) является целевой функцией (критерий оптимальности проектных решений).
Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V, представим в виде:
pr2h = V. (4.6)
На компоненты вектора решений X необходимо наложить дополнительные условия:
R > 0, h > 0. (4.7)
Выражения (4.5) – (4.7) описывают нелинейную однокритериальную модель формирования оптимальных решений, при n = 2, m = 1.
Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов:
, (4.8)
где с – затраты времени на сварку единицы длины.
Выражения (4.5), (4.8), (4.6), (4.7) описывают двухкритериальную нелинейную модель формирования оптимальных решений.
При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности.
Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид:
Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации, которые предусматривают построение функции Лагранжа вида
(4.9)
где l1, l2, … , lm – неопределенные множители Лагранжа.
Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида
(4.10)
Решая эту систему, получим решение вида
(4.11)
Используем этот метод для решения однокритериальной задачи (4.8), (4.6) (без учета (4.5), (4.7)).
Функция Лагранжа имеет вид:
.
Система уравнений (4.17) относительно переменных r, h, l:
Имеем систему алгебраических уравнений, решая которую, получим значения неизвестных r, h (l находить необязательно):
; .
Таким образом, оптимальные размеры бака, найденные с помощью аналитического метода условной оптимизации, не зависят от затрат времени с на сварку единицы длины, но зависят от требуемого объема бака V. Требование (4.8) при этих значениях r и h выполняется, то есть трудоемкость будет минимальной.
Недостатками этого метода являются:
1) Не учитываются в явном виде условия неотрицательности (4.7).
2) Система уравнений (4.10) позволяет получить решение в форме (4.11) только для простых функций (4.5), (4.6).
.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решений Х будет равен площади поверхности бака:
. (4.5)
, (4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
.
; 
.